Vollständige Induktion

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Hexe Gauß Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion
Hallo zusammen,
obwohl ich zu diesem Thema nun schon einige Beiträge gelesen habe, stehe ich immer noch auf dem Schlauch.
Möchte die vollständige Induktion für durchführen.
Meine bisherigen Überlegungen:
Verankerung:
25 < 32 ist also wahr
Induktionsvoraussetzung:
für n > 4 ist wahr
Induktionsschluss:
A(n) A (n+1)
Ich muss zeigen, dass
(das + muss natürlich auch hoch, hab gerade nicht herausgefunden, wie das geht...)

Aus Induktionsvorraussetzung folgt:



Nun habe ich gelesen, dass man folgendes schreiben kann:

Wie kommt man da denn drauf?
Wäre für Antworten sehr dankbar!
Lg
Hexe G
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Verankerung:

Da hab ich was verwechselt, das ist so richtig.

Zitat:

Diese Umformung würde ich erstmal weglassen. Versuch auf der linken Seite zu faktorisieren.
Allgemein würde ich versuchen eine Ungleichungskette aufzustellen um nicht mittels Äquivalenzumformung versuchen zu müssen, nach aufzulösen.

Zitat:
Nun habe ich gelesen, dass man folgendes schreiben kann:

Das ist äquivalent mit , also auch mit , aber .
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bijektion
Zitat:
Verankerung:

Das geht so nicht, da die Ungleichung für nicht erfüllt ist.

Deswegen macht Hexe Gauß auch eine Verankerung mit n=5, was völlig OK ist. smile
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

@klarsoweit: Da hab ich irgendwas verwechselt geschockt Wird editiert.
Hexe Gauß Auf diesen Beitrag antworten »

@ klarsoweit: Danke schon mal für die Rückmeldung.
@ bijektion: Danke, für den Hinweis:
Zitat:
Diese Umformung würde ich erstmal weglassen. Versuch auf der linken Seite zu faktorisieren.
Allgemein würde ich versuchen eine Ungleichungskette aufzustellen um nicht mittels Äquivalenzumformung versuchen zu müssen, nach aufzulösen.


Ich schaue mir die linke Seite an:
Wie gehe ich jetzt vor?
Lg Hexe G
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Du schaust dir besser sogar an. Jetzt versuch hier auszuklammern.
 
 
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hexe Gauß
Ich schaue mir die linke Seite an:
Wie gehe ich jetzt vor?
Lg Hexe G


Du schätzt einfach mal grob ab.
Nutze dabei dass du die Behauptung für alle n>4 zeigen willst.

Es ist also für alle

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

@Grautvornix: es wäre ganz nett, wenn du bijektion ein paar Minuten Zeit für seine Antwort gibst. Danke. smile
Hexe Gauß Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin überwältigt, wie schnell das hier geht.
Ist damit sowas gemeint?


Leider ist mir nicht klar, wie man auf das kommt:
Was genau ist mit Abschätzen gemeint?

Lg Hexe G
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
@Grautvornix: es wäre ganz nett, wenn du bijektion ein paar Minuten Zeit für seine Antwort gibst. Danke. smile


Okay, bin raus hier - allerdings sollte Hexe Gauß hier m.E. ruhig am eigeschlagenen Weg festhalten und den Term



wie angedeutet abschätzen.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Leider ist mir nicht klar, wie man auf das kommt:

Ja das geht so.
Zitat:

Es ist doch und da ist, ist .
Hexe Gauß Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das verstehe ich. Danke.

Woher weiß man jetzt aber, dass

Und wie komme ich auf die Idee oder zu bilden?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Woher weiß man jetzt aber, dass

Das folgt mit:
Zitat:
Original von bijektion
Das ist äquivalent mit , also auch mit , aber .


Zitat:
Original von Hexe Gauß
Und wie komme ich auf die Idee oder zu bilden?

Indem man sich vor Augen hält, was das Ziel ist. Wo taucht denn auf?
Hexe Gauß Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich verstehs immer noch nicht. Wie komme ich denn jetzt wieder auf

Zitat:
Indem man sich vor Augen hält, was das Ziel ist. Wo taucht denn auf?


Das Ziel ist, dass ich irgendwann auf kommen will. Aber das ist ja nicht n^2 + 3n ....
Irgendwie steh ich wohl auf dem Schlauch.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hexe Gauß
Hm, ich verstehs immer noch nicht. Wie komme ich denn jetzt wieder auf

Es ist doch n > 3 (sogar n > 4). Multiplizieren der Ungleichung mit n ergibt: n*n > 3*n .

Also: n² > 3n = 2n + n . Und wegen n > 1 gilt: n² > 3n = 2n + n > 2n + 1 . smile
Hexe Gauß Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Ungleichung wird mit n multipliziert?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ungleichung n > 3. Augenzwinkern
Hexe Gauß Auf diesen Beitrag antworten »

ok. Könnte man dann jetzt sagen:
(Wie krieg ich denn jetzt dieses Plus nach oben?)


n>3






klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip ja, wobei man das Ganze günstigerweise so schreibt:



In einem Anmerkung kann man ja noch sagen, daß n² > 3n wegen n > 3 gilt. smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit einem beherzten Griff in den Farbtopf würde der Induktionsschritt so aussehen:

Zitat:
Für gilt insbesondere auch sowie und damit unter Benutzung der Induktionsvoraussetzung auch die Ungleichungskette

.
Hexe Gauß Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielen Dank an alle! Hat mir sehr geholfen. Gibts da jetzt rgendeinen Trick, wie man da drauf kommt? Ich würde das auch gerne sehen, wie der nächste Schritt ist. Finde ich bei Ungleichungen irgendwie schwierig.
Außerdem wird in diesem Zusammenhang immer das Abschätzen erwähnt. Das ist mir immer noch nicht ganz klar.
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich muss erstmal sagen das es in die andere Richtung, die ich zuerst einschlagen wollte, vermutlich einfacher gewesen wäre, da benötigt man nur eine wirkliche Abschätzung.

Zitat:
Gibts da jetzt rgendeinen Trick, wie man da drauf kommt? Ich würde das auch gerne sehen, wie der nächste Schritt ist. Finde ich bei Ungleichungen irgendwie schwierig.

Du solltest immer drauf achten, worauf du hinaus willst. Welcher nächste Schritt?
Hexe Gauß Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann würde ich mich jetzt doch auch noch für den anderen Weg interessieren.

Es ging da ja um
Wenn ich das jetzt richtig rauslese.

Zitat:

Du schätzt einfach mal grob ab.
Nutze dabei dass du die Behauptung für alle n>4 zeigen willst.


Das heißt, ich muss da jetzt was tun?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ok, dann würde ich mich jetzt doch auch noch für den anderen Weg interessieren.

Der Induktionsschritt sieht dann mit der Induktionsvorraussetzung wie folgt aus: , wobei die rote Ungleichung durch IV folgt.
Jetzt wissen wir also ist und es ergibt sich .

Zitat:
Das heißt, ich muss da jetzt was tun?

Es reicht eigentlich immer zu nutzen, das größer als eine vorgegebene Zahl ist, hier , dann kannst du durch 4 "ersetzen" und erhälst eine Abschätzung.

Als Beispiel. Wenn ist, dann kann man leicht abschätzen, oder auch .
Hexe Gauß Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist in diesem Fall folgendes 'Abschätzen':
Zitat:

Jetzt wissen wir also ist und es ergibt sich
...
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nur die Hilfe, aber die wird ja genauso benutzt.
Hexe Gauß Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, und was bedeutet dann Abschätzen in diesem Sinne? 'Ersetzen'?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ok, und was bedeutet dann Abschätzen in diesem Sinne? 'Ersetzen'?

Ich würde sagen in einem gewissen Maß ja.
Eine Abschätzung (ob nach oben oder nach unten) hat das Ziel, einen komplizierten Ausdruck mit einem einfacheren zu ersetzen, der die Eigenschaft hat, dass er immer größer (kleiner) als der ursprüngliche ist.
Einfacher kann hier natürlich auch bedeuten, dass man über die Abschätzung schon mehr Informationen besitzt.
Hexe Gauß Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Ich habe gelesen, dass man mit der Bernoullische Ungleichung
mit
die Potenzfunktion nach unten abschätzen kann.
Was heißt das?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt. Nun, setz einfach mal Werte für ein.
Wenn du dir nun zeichnest und gleichzeitig , dann liegt die Gerade stets unter der Exponentialfunktion .
Hexe Gauß Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, so ganz ist mir das jetzt zwar immer noch nicht klar, aber für dieses Thema führt das jetzt vermutliche eh zu weit....
Danke auf jeden Fall schon mal für die Hilfe! smile
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem. Wink
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hexe Gauß
Ok, so ganz ist mir das jetzt zwar immer noch nicht klar, aber für dieses Thema führt das jetzt vermutliche eh zu weit....

Dazu noch eine Anmerkung: Abschätzungen begegnen uns doch immer wieder im täglichen Leben. Beispiel: Person A fährt von Frankfurt nach Hamburg und Person B von Frankfurt nach Kassel. Da kann Person A sagen: auf meinem Weg nach Hamburg komme ich an Kassel vorbei. Also ist der Weg nach Hamburg länger als der Weg nach Kassel. Das kann man dann in mathematischen Formalismus pressen:

Strecke(Frankfurt-Hamburg) > Strecke(Frankfurt-Kassel)

Bei einer Abschätzung werden also nur 2 Größen miteinander verglichen und in Beziehung gebracht.
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