Ableitung Funktion

02.04.2014, 20:11

kat.minestry

Ableitung Funktion

Meine Frage:
hey zusammen
ich muss eine erste ableitung von folgender Funktion erstellen
$\begin{eqnarray*} y=f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ich habe mir dazu überlegt für den Bruch die Quotientenregel anzuwenden und für $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+1} \end{eqnarray*}$ dazu dann noch die Kettenregel
also bei der Kettenregel komme ich dann auf:
$\begin{eqnarray*} h(x)=\sqrt{x} , h'(x)= \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2*\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)= x^{2} +1, g'(x)= 2x \end{eqnarray*}$
da hab ich dann schon meine ersten probleme die kettenregel zu brechnen.
Vielen Dank für eure Hilfe

02.04.2014, 20:22

Fazer

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Für die Ableitung des Nenners musst du doch nur noch h'(x)*g'(x). Allerdings fehlt bei h'(x) in der Potenzschreibweise ein Minus.

Edit: h(x) muss dann natürlich wieder von $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2}+1 } \end{eqnarray*}$ zurück geführt werden.

02.04.2014, 20:47

kat.minestry

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dann bekomme ich für die Ableitung des Nenners $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
dann kommt ja die quotientenregel
$\begin{eqnarray*} u(x)= x u'(x)=1 v(x)=\sqrt{x^2+1} v'(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$
dann in die Formel:
$\begin{eqnarray*} \frac{1*\sqrt{x^2+1}-x*\sqrt{x} }{\sqrt{x^2+1} } \end{eqnarray*}$
hab dann versucht das auszurechnen. also ohne taschenrechner. komme aber nicht auf
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(x^{2}+1)^{3/2 } } \end{eqnarray*}$
sondern auf
$\begin{eqnarray*} \frac{(x^{2}+1)^{1/2}-x^{3/2} }{x^{2}+1 } \end{eqnarray*}$

02.04.2014, 20:58

Fazer

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v'(x) ist so nicht richtig.
In deinem vorherigen Post hattest du eigentlich die innere und äußere Ableitung bereits richtig bestimmt.
$\begin{eqnarray*} g'(x)=2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h'(x)=\frac{1}{2*\sqrt{x^{2}+1 } } \end{eqnarray*}$

02.04.2014, 21:09

kat.minestry

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wie komme ich auf h'(x)?
und wie muss ich das dann in die Quotientenregel einbauen?
einfach h'(x) als v'(x) einsetzen oder wie? verstehe das gerade nicht

02.04.2014, 21:21

Fazer

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h'(x) ist die äußere Ableitung des Nenners. Da wird der Radiant durch eine Variable ersetzt (kann nur im Kopf geschehen) nach dieser dann differenziert wird. Anschließend wird die gewählte Variable durch den ursprünglichen Radianten wieder ersetzt.

02.04.2014, 22:18

kat.minestry

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und wie rechne ich da jetzt weiter mit h'(x)?

03.04.2014, 09:26

Fazer

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Für die Übersicht:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}=\frac{x}{\sqrt{x²+1} } \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} v(x)=h(g(x)) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} g(x)=x²+1 \end{eqnarray*}$

Für die Quotientenregel gilt: $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)}{v(x)²} \end{eqnarray*}$

Für v'(x), also die Ableitung des Nenners, gilt "Äußere Ableitung x Innere Ableitung". Dafür wird der Radiant durch eine Hilfsvariable ersetzt. Ich habe oben v(x) bereits in h und g zerlegt. In deinem ersten Post hattest du die Ableitungen davon eigentlich schon richtig bestimmt:
$\begin{eqnarray*} g'(x)=2x \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} h'(x)=\frac{1}{2*\sqrt{g(x)} } \end{eqnarray*}$ .

Nun ersetzt du in der Ableitung von h das g(x) durch den, g(x) zugeordneten, Term x²+1.
Anschließend kannst du v'(x) mit g'(x)*h'(x) bestimmen.
Das wäre die Ableitung des Nenners, womit du dann bei der Quotientenregel weiter machen kannst.

03.04.2014, 15:02

kat.minestry

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erstmal danke für die hilfe
hab das ganze dann in die quotientenregel eingesetzt und komme auf folgendes
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x^2+1}-\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1} } }{x^2+1} \end{eqnarray*}$
ich komme dann aber auf
$\begin{eqnarray*} \frac{-2x}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

03.04.2014, 15:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von kat.minestry
ich komme dann aber auf
$\begin{eqnarray*} \frac{-2x}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Und wie? Sprich: wo ist die Wurzel geblieben? verwirrt

EDIT: Und bei der Anwendung der Quotientenregel ist ein kleiner Fehler reingerutscht.

03.04.2014, 17:34

kat.minestry

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also die wurzel unter dem Bruch fällt ja weg wegen dem Quadrat es ist ja $\begin{eqnarray*} (x^{2+1})^2 \end{eqnarray*}$

und wo ist der fehler?

03.04.2014, 21:18

Fazer

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Zitat:

Original von kat.minestry
hab das ganze dann in die quotientenregel eingesetzt und komme auf folgendes
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x^2+1}-\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1} } }{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Im Zähler fehlt beim Subtrahenden ein "x". Es gilt u(x)*v'(x). Zudem kannst du die 2 noch kürzen, dass ist aber nur Kosmetik.

Ich weiß nicht wie du dein Ergebnis zu $\begin{eqnarray*} \frac{-2x}{x²+1} \end{eqnarray*}$ umgeformt hast, aber da ist dir sicherlich ein Fehler unterlaufen. So stimmt es nicht.

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