Ableitung einer Funktion - Beweis

02.04.2014, 21:39

ChrisBK

Ableitung einer Funktion - Beweis

Hallo, heute in Mathe haben wir Exponentialfunktionen durchgenommen und bei einer Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = e^{-x} (-\frac{x}{2} - 1) \end{eqnarray*}$ fällt ja auf, dass sich beim Ableiten der Funktion, dass Vorzeichen ändert und mit der 1 immer eine Veränderung mit 0,5 stattfindet. Nun soll ich das Beweisen.

Mein Ansatz ist:
Induktionsbehauptung: $\begin{eqnarray*} f^n(x) = e^{-x} (-1^n \frac{x}{2} - 1^{n+1} (\frac{1}{2} \cdot n )) \end{eqnarray*}$

Für n=1 stimmt diese Behauptung, aber wie gehe ich dann mit k+1 um?

02.04.2014, 21:51

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde mal eher von

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x) = e^{-x} \cdot \frac{(-1)^{n+1}(x+2-n)}{2} \end{eqnarray*}$

ausgehen.

02.04.2014, 22:45

ChrisBK

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann bekomme ich für n=1 heraus:
$\begin{eqnarray*} f^{(1)}(x)= e^{-x} \cdot \frac{(-1)^2 \cdot (x+2-1)}{2} = \frac{(x+1) \cdot e^{-x}}{2} = /frac{df}{dx} \end{eqnarray*}$

Für k+1 bekomme ich dann:
$\begin{eqnarray*} f^{(k+1)}(x)= e^{-x} \cdot \frac{(-1)^{k+1+1} \cdot (x+2-k+1)}{2} = \frac{(-1)^{k} \cdot (x-k+3) \cdot e^{-x}}{2} = f^1(x) \end{eqnarray*}$

Ist damit der Beweis beendet?

02.04.2014, 22:51

ChrisBK

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von ChrisBK
Dann bekomme ich für n=1 heraus:
$\begin{eqnarray*} f^{(1)}(x)= e^{-x} \cdot \frac{(-1)^2 \cdot (x+2-1)}{2} = \frac{(x+1) \cdot e^{-x}}{2} = \frac{df^1}{dx} \end{eqnarray*}$

Für k+1 bekomme ich dann:
$\begin{eqnarray*} f^{(k+1)}(x)= e^{-x} \cdot \frac{(-1)^{k+1+1} \cdot (x+2-k+1)}{2} = \frac{(-1)^{k} \cdot (x-k+3) \cdot e^{-x}}{2} = \frac{df^1}{dx} \end{eqnarray*}$

Ist damit der Beweis beendet?

02.04.2014, 23:15

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Da sehe ich keine Spur von Beweis. Ich weiß ja nicht, wie du den Beweis anlegen willst, aber Vollständige Induktion wäre schon das fast unausweichliche Mittel der Wahl.

03.04.2014, 22:17

ChrisBK

Auf diesen Beitrag antworten »

Vollständige Induktion ist eigtl. auch das was ich ausdrücken will, hab das aber noch nie gemacht. Big Laugh

steht nicht mehr im Lehrplan beim Leistungskurs

Also dann will ich mich noch mal versuchen:

Ich will ja zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N}^+ \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} e^{-x} \cdot \frac{(-1)^{n+1}(x+2-n)}{2}= \frac{d^nf}{d^nx} \end{eqnarray*}$ gilt.

Induktionsanfang: (n=1)
$\begin{eqnarray*} e^{-x} \cdot \frac{(-1)^{1+1}(x+2-1)}{2}= \frac{df}{dx} \end{eqnarray*}$
und das ist ja:
$\begin{eqnarray*} e^{-x} \cdot \frac{x+1}{2} = ( \frac{x}{2}+ \frac{1}{2}) \cdot e^-x \end{eqnarray*}$
Und das stimmt ja überein.

Induktionsschritt:

Nun wird von n=k auf n=k+1 geschlossen.

Induktionsannahme:
$\begin{eqnarray*} e^{-x} \cdot \frac{(-1)^{k+1}(x+2-k)}{2}= \frac{d^kf}{d^kx} \end{eqnarray*}$

Nun muss ich ja zeigen, dass die Annahme für k+1 gilt.
$\begin{eqnarray*} e^{-x} \cdot \frac{(-1)^{k+1+1}(x+2-k+1)}{2}= \frac{d^{k+1}f}{d^{k+1}x} \end{eqnarray*}$
Das ist ja:
$\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^k \cdot (x-k+3) \cdot e^{-x}}{2} = \frac{d^{k+1}f}{d^{k+1}x} \end{eqnarray*}$
Und ab da weiß ich nicht weiter. Hammer

04.04.2014, 08:45

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von ChrisBK
Nun muss ich ja zeigen, dass die Annahme für k+1 gilt.
$\begin{eqnarray*} e^{-x} \cdot \frac{(-1)^{k+1+1}(x+2-k+1)}{2}= \frac{d^{k+1}f}{d^{k+1}x} \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} e^{-x} \cdot \frac{(-1)^{k+1+1}(x+2-(k+1))}{2}= \frac{d^{k+1}f}{dx^{k+1}} \end{eqnarray*}$

Beachte auch die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \frac{d^kf}{dx^k} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f^{(k)} \end{eqnarray*}$ für die k-te Ableitung.

04.04.2014, 08:52

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

@ChrisBK

M.E. sollte im Induktionsschritt auch erkennbar sein, was man da eigentlich macht: Nämlich die per Induktionsvoraussetzung bekannte Formel von $\begin{eqnarray*} f^{(k)} \end{eqnarray*}$ einmal abzuleiten, um dann umgeformt auf den zu beweisenden Ausdruck für $\begin{eqnarray*} f^{(k+1)} \end{eqnarray*}$ zu kommen.

Wenn ich mir deine Ausführungen so anschaue, dann sieht das so aus, als würdest du stets nur verschiedene Indizes einsetzen, aber nie diesen Ableitungsschritt vornehmen. Das mag ungerecht von mir sein, weil du das tatsächlich doch so gemeint hast - aber wie gesagt, mir fehlt die deutliche Erkennbarkeit des Vorgehens.

Neue Frage »

Antworten »

Ableitung einer Funktion - Beweis

Verwandte Themen