relative Häufigkeit im Bernoulli Schema

02.04.2014, 21:50

Mary93

relative Häufigkeit im Bernoulli Schema

Meine Frage:
Zeigen Sie, dass die relative Häufigkeit $\begin{eqnarray*} h_n(A) \end{eqnarray*}$ des Ereignisses A im Bernoulli Schema im Falle $\begin{eqnarray*} \epsilon \leq P(A)(1-P(A)) \end{eqnarray*}$ folgender Ungleichung genügt:
$\begin{eqnarray*} P(|h_n(A)- P(A)|\geq \epsilon)\leq 2exp( (-\frac{n \epsilon^2}{2P(A)(1-P(A))(1+\frac{\epsilon}{2P(A)(1-P(A))})^2 } ) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich glaube, ich muss hier mit der Ungleichung von Bernstein arbeiten, aber leider kriege ich das irgendwie gar nicht hin. Kann mir vielleicht netterweise jemand helfen?

Vielen Dank vorab!

03.04.2014, 15:30

Mary93

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RE: relative Häufigkeit im Bernoulli Schema
kann wirklich keiner helfen?

04.04.2014, 18:12

HAL 9000

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"Bernstein-Ungleichung" höre ich zum ersten Mal. Aber nachdem ich sie nachgelesen habe, versuchen wir doch mal, sie anzuwenden:

Wir betrachten unabhängige $\begin{eqnarray*} Y_i\sim B(1,P(A)) \end{eqnarray*}$ und zentrieren die, d.h. $\begin{eqnarray*} X_i=Y_i-P(A) \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i = h_n(A)-P(A) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} E(X_i)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma^2 := V(X_i) = P(A)(1-P(A)) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} B := \max\{P(A),1-P(A)\} \leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Gemäß Bernstein wäre nun hinreichend zum Beweis deiner Behauptung, wenn für die Wahl von

$\begin{eqnarray*} \mathcal{T} := \frac{n \epsilon^2}{2\sigma^2\left(1+\frac{\epsilon}{2\sigma^2}\right)^2} \end{eqnarray*}$

am Ende dann für $\begin{eqnarray*} \epsilon':=\sqrt{\frac{2\sigma^2\mathcal{T}}{n}} + \frac{2B\mathcal{T}}{3n} \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \epsilon'\leq \epsilon \end{eqnarray*}$ gilt. Denn dann kann man schließen

$\begin{eqnarray*} P(|h_n(A)-P(A)| \geq \epsilon) \leq P(|h_n(A)-P(A)| \geq \epsilon') = P\left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \geq \epsilon' \right) + P\left( -\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \geq \epsilon' \right) \leq 2e^{-\mathcal{T}} \end{eqnarray*}$ .

Tja, ob nun wirklich $\begin{eqnarray*} \epsilon'\leq \epsilon \end{eqnarray*}$ gilt, dazu ist noch ein wenig Rechnerei nötig.

Zitat:

Original von Mary93
kann wirklich keiner helfen?

Erst rumdrängeln, und dann keine Rückmeldung geben - das haben wir gerne. Finger2

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