Leere Menge eine Gruppe?

02.04.2014, 22:16

icetea01

Leere Menge eine Gruppe?

Hallo,

ich hätte zwei kurze Fragen, bei denen ich mir nicht wirklich sicher bin (oder gar nicht auskenne). Vllt kann mir irgendwer von euch helfen.

a) Die leere Menge ist eine Gruppe ?
b) in jeder Gruppe besitzt jede lineare Gleichung eine Lösung ?

zu a): ich trau mich nicht irgendwas zu behaupten (ob ja oder nein). Aber, es heißt ja (nur mal salopp gesagt) "für ein Element a existiert neutrales, inverses Element usw. ..." wenn ich aber keine Elemente hab, dann braucht es ja kein inverses oder neutrales geben? Theoretisch wäre die leere Menge dennoch eine Gruppe... oder denk ich da einfach falsch?

zu b): da fällt mir ehrlich gesagt nichts ein wie ich das am besten belegen oder widerlegen kann. Irgendwer Ideen?

vielen Dank schon mal im Voraus!

02.04.2014, 22:20

weisbrot

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RE: Leere Menge eine Gruppe?
a) nein. es heißt nicht: "für jedes element gibt es eine neutrales element", sondern einfach "es gibt ein neutrales element", also darf eine gruppe nicht lehr sein.
b) die gleichung $\begin{eqnarray*} ax=b \end{eqnarray*}$ hat natürlich die lösung $\begin{eqnarray*} a^{-1}b \end{eqnarray*}$ .
lg

02.04.2014, 22:23

10001000Nick1

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Nein, die leere Menge ist keine Gruppe. Es gibt zwar zu jedem Element der leeren Menge ein inverses Element und $\begin{eqnarray*} a\cdot b \end{eqnarray*}$ ist auch in der leeren Menge für alle $\begin{eqnarray*} a, b\in\emptyset \end{eqnarray*}$ (wenn $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ die Verknüpfung ist).
Aber es gibt ja noch ein drittes Kriterium, das erfüllt sein muss: In jeder Gruppe gibt es ein neutrales Element. Und weil die leere Menge keine Elemente enthält, kann es auch kein neutrales Element geben.

Und ja, es gibt in einer Gruppe für jede lineare Gleichung eine Lösung.

02.04.2014, 22:39

icetea01

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Danke euch! Bei der leeren Menge hab ich mir das irgendwo auch so gedacht, aber war einfach unsicher. Aber jetzt ist alles klar.

noch kurz zu b):
D.h. bei der Gleichung $\begin{eqnarray*} ax+c=b \end{eqnarray*}$ wäre dann die Lösung $\begin{eqnarray*} a^-1*(b-c) ? \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^-1 \end{eqnarray*}$ ist das inverse Element, was ja existieren muss, und $\begin{eqnarray*} (b-c) \end{eqnarray*}$ muss ja auch innerhalb der betreffenden Gruppe sein... also existiert insgesamt die Lösung!?

03.04.2014, 01:38

weisbrot

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} ax+c=b \end{eqnarray*}$

das ergibt keinen sinn, es wird in gruppen nur eine operation betrachtet, die wird entweder multiplikativ oder additiv gekennzeichnet, es gibt aber nicht beides. für zwei operationen würde man z.b. ringe betrachten.
lg

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