Gleichung nach x auflösen

02.04.2014, 22:36

kat.minestry

Gleichung nach x auflösen

Meine Frage:
folgende Gleichung muss ich nach x auflösen
$\begin{eqnarray*} 5*2^{x+1}+2*2^{x} = 3*3^{x} +8*3^{x+1} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
also es gibt ja gleiche basen wie 2 und 3,da kann man dann die Potenzgesetze anwenden, aber ich weiss nicht was ich mit der 5,2,3,8 anstellen soll die vor dem malzeichen stehen
Danke

02.04.2014, 22:38

bijektion

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Du kannst erstmal dividieren, und zwar durch $\begin{eqnarray*} 2^{x+1} \end{eqnarray*}$ .

02.04.2014, 22:39

10001000Nick1

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Fasse doch erstmal auf beiden Seiten die einzelnen Term zusammen:
$\begin{eqnarray*} 2\cdot 2^x=... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3\cdot 3^x=... \end{eqnarray*}$

03.04.2014, 14:05

kat.minestry

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@bijektion
also wenn ich es dividiere komme ich auf
$\begin{eqnarray*} 5+2*2^{x} =\frac{3*3^{x}+8*3^{x+1} }{2^{x+1} } \end{eqnarray*}$
kann ich dann irgendwie kürzen oder so. Verstehe nicht so ganz was ich machen muss und warum ich das so überhaupt machen muss.

@10001000Nick1
und wie muss ich dann bei deinem Ansatz weiterrechnen?

03.04.2014, 14:25

10001000Nick1

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Zitat:

Original von kat.minestry
@10001000Nick1
und wie muss ich dann bei deinem Ansatz weiterrechnen?

Was ergibt denn $\begin{eqnarray*} 2\cdot 2^x=... \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3\cdot 3^x=... \end{eqnarray*}$ ?

Bei dem Ansatz von bijektion hast du die Gleichung falsch dividiert. Du musst auf der linken Seite auch $\begin{eqnarray*} 2\cdot 2^x \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 2^{x+1} \end{eqnarray*}$ dividieren.

03.04.2014, 14:43

kat.minestry

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wenn ich das wüsste hätte ich nicht gefragt. ich hab wirklich keine Ahnung wie das gehen soll
danke

03.04.2014, 14:44

10001000Nick1

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Kennst du die Potenzgesetze?

03.04.2014, 15:05

kat.minestry

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ja. ich weiss das man dann schlussendlich die beiden zusammen zählen kann weil sie ja die gleichen potenzen haben.
aber es sind ja 2 Gleichungen und ich weiss nicht wie ich die jetzt zusammen fügen soll und mich irritieren die Terme vor den Potenzzahlen

03.04.2014, 15:07

10001000Nick1

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Zitat:

Original von kat.minestry
ich weiss das man dann schlussendlich die beiden zusammen zählen kann weil sie ja die gleichen potenzen haben.

Was kann man da zusammenzählen? Und was soll "sie haben die gleichen Potenzen" bedeuten?

Dann sag mir doch einfach erstmal, was $\begin{eqnarray*} 2\cdot 2^x \end{eqnarray*}$ ergibt. Da irritiert nichts, da brauchst du einfach nur ein Potenzgesetz anwenden.

Und das gleiche bei $\begin{eqnarray*} 3\cdot 3^x \end{eqnarray*}$ .

03.04.2014, 15:24

kat.minestry

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sollte das ergeben:

$\begin{eqnarray*} 3*3^{x} 3^{x+1} 2*2^{x} 2^{x+1} \end{eqnarray*}$

03.04.2014, 15:29

10001000Nick1

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Wenn du da noch ein =-Zeichen dazwischen machst, dann stimmt das.

Jetzt haben wir also die Ausgangsgleichung umgeformt zu
$\begin{eqnarray*} 5\cdot 2^{x+1}+2^{x+1} = 3^{x+1} +8\cdot 3^{x+1} \end{eqnarray*}$
Jetzt kannst du noch weiter umformen, indem du links $\begin{eqnarray*} 2^{x+1} \end{eqnarray*}$ und rechts $\begin{eqnarray*} 3^{x+1} \end{eqnarray*}$ ausklammerst.

03.04.2014, 16:04

kat.minestry

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ausklammern:
$\begin{eqnarray*} 2^{x+1}(5+1)=3^{x+1}(1+8) \end{eqnarray*}$

verrechnen und $\begin{eqnarray*} 3^{x+1} \end{eqnarray*}$ auf die linke Seite bringen
$\begin{eqnarray*} (\frac{2}{3})^{x+1}=\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

ln()
$\begin{eqnarray*} x+1= \frac{ln(\frac{3}{2}) }{ln(\frac{2}{3}) } \end{eqnarray*}$

endresultat ist x=-2
ich verstehe allerdings nicht warum es auf der rechten seite bei den ln()´s -1 ergibt

03.04.2014, 16:09

10001000Nick1

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Wenn du einen Bruch "hoch -1" rechnest, erhältst du ja einfach seinen Kehrwert. Und weil $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ der Kehrwert von $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ ist, ist $\begin{eqnarray*} \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}=\frac{3}{2}. \end{eqnarray*}$
Also ist $\begin{eqnarray*} x+1=-1 \end{eqnarray*}$ .

03.04.2014, 16:38

kat.minestry

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ahja super
vielen dank für deine hilfe

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