Satz von Cayley: G der Ordnung n isomoph zu Untergrp der S_n? (mit gleichem n)

03.04.2014, 12:57

Duude

Satz von Cayley: G der Ordnung n isomoph zu Untergrp der S_n? (mit gleichem n)

Hallo,
bei der Wiederholung der Gruppentheorie ist mir ein Detail aufgefallen, das mir noch unklar ist.
Es geht um den Satz von Cayley der besagt: Sei G endliche Gruppe. Dann gibt es ein n größergleich 1, sodass G isomorph zu einer Untergruppe der $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Frage:
Angenommen |G|=5. Ist G dann isomorph zu einer Untergruppe der $\begin{eqnarray*} S_5 \end{eqnarray*}$ oder muss das nicht zwingend gelten (und G wäre möglicherweise ausschließlich isomorph zu einer Untergruppe einer S_n mit n ungleich 5)?

Möglich wäre es auf jeden Fall, denn nach dem Satz von Lagrange teilt die Ordnung von G (hier gleich 5), die Ordnung der S_5 (hier glelich 5*4*3*2*1). Möglich wäre aber auch, dass G Untergruppe der S_6 ist (da auch in der Ordnung der S_6 der Faktor 5 steckt)

Also ist endliche Gruppe der Ordnung n stets isomorph zu Untergruppe der S_n (wobei das n DAS SELBE ist)?

Freue mich über Anmerkungen.
lg Duude

edit: Ich sehe gerade, dass die $\begin{eqnarray*} S_{n-1} \end{eqnarray*}$ ja eine Untergruppe der $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ist, wenn man einfach ein Element festhält. Bleibt die Frage, welches die kleinste $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ist, die eine Untergruppe hat, zu der G mit |G|=n isomorph ist. Ich tippe ja immer noch auf die S_n, bin mir aber einfach nicht sicher...

03.04.2014, 13:24

Jack Prince

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Hey Duude,

ja es ist das selbe n. Das folgt aus der Tatsache, dass G auf sich selbst mit der Operation von G operiert. Da aber nur die eins alle Elemente von G bezüglich dieser Operation fixiert, erhalten wir eine Einbettung $\begin{eqnarray*} G \hookrightarrow S_G\cong S_{|G|} \end{eqnarray*}$ .

Aber natürlich ist dann auch G eine Untergruppe der $\begin{eqnarray*} S_{|G|+n} \end{eqnarray*}$ für beliebige n.

LG

03.04.2014, 14:38

tmo

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RE: Satz von Cayley: G der Ordnung n isomoph zu Untergrp der S_n? (mit gleichem n)

Zitat:

Original von Duude
Bleibt die Frage, welches die kleinste $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ist, die eine Untergruppe hat, zu der G mit |G|=n isomorph ist. Ich tippe ja immer noch auf die S_n, bin mir aber einfach nicht sicher...

Was das angeht, gibt es folgende Extrema:

Z.b. lässt sich die zyklische Gruppe mit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ (prim) Elementen in die $\begin{eqnarray*} S_p \end{eqnarray*}$ einbetten, aber in keine $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n<p \end{eqnarray*}$ .

D.h. hier ist die Schranke aus dem Satz von Cayley wirklich scharf.

i.A. ist sie das natürlich überhaupt nicht:
Das andere Extremum ist die $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ selbst. Die hat $\begin{eqnarray*} n! >> n \end{eqnarray*}$ Elemente, lässt sich aber offenbar schon in die $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ einbetten.

05.04.2014, 10:16

Duude

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Danke euch zweien. Ich denke ich habs verstanden. Das hat mir nochmals sehr weitergeholfen im Verständnis. smile

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