Vektor bestimmen der senkrecht zum anderen ist

03.04.2014, 18:02	moclus	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektor bestimmen der senkrecht zum anderen ist Hallo Leute Ich kann mithilfe des Skalarprodukts nachweisen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Wie kann ich aber einen Vektor mit dem Skalarprodukt bestimmen, der senkrecht auf dem anderen steht? Angenommen es ist ein Vektor gegeben: $\begin{eqnarray} \vec{a}= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Begingung dafür lautet: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix} = \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\| \cdot \cos(90°) = 0 \end{eqnarray}$ Kann ich mithilfe dieser Darstellung, den Vektor b bestimmen?
03.04.2014, 18:06	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Da gibt es viele Möglichkeiten. Es muss ja gelten: $\begin{eqnarray} a_1b_x+a_2b_y+a_3b_z=0. \end{eqnarray}$ Jetzt hast du eine Gleichung, aber drei Unbekannte. D.h. du kannst zwei der drei Komponenten von b frei wählen und daraus dann die dritte bestimmen. Eine einfache Möglichkeit ist z.B. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_3 \\ 0 \\ -a_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ .
03.04.2014, 18:14	moclus	Auf diesen Beitrag antworten »
Mh wie komm ich denn vom Skalarprodukt zu deiner letzten Gleichung?
03.04.2014, 18:16	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_3 \\ 0 \\ -a_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? Das ist einfach nur ein Beispiel für einen Vektor b, der senkrecht auf a steht. Es gibt aber natürlich noch viele andere Möglichkeiten.
03.04.2014, 18:19	moclus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau das mein ich . Mh okay ... es gibt viele Möglichkeiten, aber wie darf ich denn diesen Vektor interpretieren? Würde das gerne verstehen . Für mich ist es nicht so leicht direkt einen Vektor zu konstruieren, der senkrecht auf einem steht.
03.04.2014, 18:49	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier mal ein Zahlenbeispiel: $\begin{eqnarray} \vec{a}= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann steht der Vektor $\begin{eqnarray} \vec{b}=\begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_3 \\ 0 \\ -a_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ senkrecht auf $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ (denn jetzt ist $\begin{eqnarray} \vec{a}\cdot \vec{b}=0 \end{eqnarray}$ , was du leicht nachrechnen kannst). Wenn man die Gleichung $\begin{eqnarray} a_1b_x+a_2b_y+a_3b_z=0 \end{eqnarray}$ nimmt, erhält man noch mehr mögliche Vektoren, indem man zwei der drei Komponenten von $\begin{eqnarray} \vec{b} \end{eqnarray}$ frei wählt und die dritte Komponente dann mithilfe dieser Gleichung berechnet. Wenn man z.B. $\begin{eqnarray} b_y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_z \end{eqnarray}$ beliebig wählt, dann muss $\begin{eqnarray} b_x=-\frac{a_2b_y+a_3b_z}{a_1} \end{eqnarray}$ sein (das geht natürlich nur, wenn $\begin{eqnarray} a_1\neq 0 \end{eqnarray}$ ist). Wieder ein Beispiel: $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ ist der Vektor von oben. Ich wähle jetzt $\begin{eqnarray} b_y=-6, b_z=17 \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} b_x=-\frac{5\cdot (-6)+3\cdot 17}{2}=-\frac{21}{2}=-10,5 \end{eqnarray}$ . Also steht der Vektor $\begin{eqnarray} \vec{b}= \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -10,5 \\ -6 \\ 17 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ senkrecht auf $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ .
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08.04.2014, 17:57	moclus	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Ich glaube ich habs verstanden

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