Volumensberechnung von Rotationskörpern

03.04.2014, 21:06	Gamtja	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumensberechnung von Rotationskörpern Es soll die Masse und der Inhalt einer Schale berechnet werden, deren äußere Form duch Rotieren der Funktion y=f(x) um die x-Achse im Intervall [0 ; 6] entsteht. Die Funktion y= f(x) folgt der Gleichung x² + y² = 6². Der Hohlraum der Schale ergibt sich durch Rotieren der Funktion y=g(x) um die x-Achse im Intervall [0 ; 5], die sich aus der Gleichung x² + y² = 5² ergibt. a) Fertigen sie eine ordentlich beschriftete Skizze an! ( Die Schale wird sich stehend zeigen!) Maße in cm! b) Lösen Sie das Problem mit HIlfe der Integralrechnung c) Wie schwer ist die Schale samt Wasserfüllung, wenn die Schale aus Glas besteht und bis zum Rand mit Wasser aufgefüllt ist (Dichte von Glas pgl = 2,5g/cm³). ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ____________ b) Erstmal rechne ich das Volumen der äußeren Funktion: $\begin{eqnarray} x²+y²=6² \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = \sqrt{6² - x²} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V_{a} = \pi \cdot \int_0^6 \! y² \, dx = \pi \cdot \int_0^6 \! 6²-x² \, dx = \pi \left[36x-\frac{x³}{3} + c \right]_{0}^{6} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V_{a} = \pi \cdot 216 - \frac{216}{3} +c -c = 144 \pi = 452cm³ \end{eqnarray}$ Dann der inneren: $\begin{eqnarray} V_{b} = \pi \int_0^5 \! y² \, dx = \pi \int_0^5 \! 5²-x² \, dx = \pi \left[5²x - \frac{x³}{3} + c \right]_{0}^{5} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V_{b} = \pi (125 \cdot 5 -\frac{125 \cdot 5}{3} +c-c) = 83,333\pi = 261cm³ \end{eqnarray}$ Dann Rechne ich das Vgl aus, also die Differenz: $\begin{eqnarray} V_{a} - V_{b} = 452cm³ - 261cm³ = 190cm³ \end{eqnarray}$ Masse: $\begin{eqnarray} mgl = pgl \cdot Vgl = 2,5g/cm³ \cdot 190cm³ = 475g \end{eqnarray}$ Hier hab ich noch eine Frage, wie rechne ich den Flächeninhalt der Schale aus ? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _________________ c) $\begin{eqnarray} m_{wasser} = 1g/cm³ \cdot 190cm³ = 190g \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} m_{voll} = m_{wasser} + mgl = 190g + 475g = 665g \end{eqnarray}$ Hab ich das so richtig gerechnet ? MfG. Gamtja
03.04.2014, 21:29	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast die beiden Volumina zwar richtig berechnet, aber etwas zu großzügig gerundet, V_glas = rd. 190,59 cm³ und die Masse m = rd. 476,5 g Das Volumen des Wassers ist das der inneren Halbkugel, da ist bei dir ein Denkfehler, denn das hat doch mit dem Volumen des Glaskörpers nichts zu tun. Und was verstehst du unter "Flächeninhalt" der Schale ? mY+
03.04.2014, 21:48	Gamtja	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahja hab ich mich vertan, das Wasser hat dann 261g. Naja die Oberfläche bzw. Den Mantel meinte ich. Ich will z.B. wissen wieviel Fläche ich mit Farbe bemalen kann. Wie würd ich da vorgehen ?
03.04.2014, 21:59	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe dich bereits auf Rundungsfehler aufmerksam gemacht! Umso weniger ist verständlich, weshalb du dich erneut - beim Wassergewicht - um fast ein ganzes Gramm vertan hast. _______________ Ist dir die Oberflächenformel der Kugel bekannt? Dann nimmst du einfach die Halbkugel ... mY+
03.04.2014, 22:18	Gamtja	Auf diesen Beitrag antworten »
261,799g wiegt das Wasser in der Schale!, ich hab überall die Kommastellen weggelassen weils mir eher um den richtigen Rechenweg ging. Und ja man rundet auf bei 261,799 . Zur Oberfläche, wenn ich nur eine Funktion hernehme die sich um die x-Achse dreht z.B. die äußere: $\begin{eqnarray} y = \sqrt{6²-x} \end{eqnarray}$ Und den Mantel rechnen will: $\begin{eqnarray} M = \int_0^6 \! 2\pi r_{(x)} \sqrt{1+(r'_{(x)})²} dx \end{eqnarray}$ Dann rechne ich auch ncoh den Mantel der inneren Funktion und addiere beide. Jetz fehlt dann aber noch die Oberfläche vom Rand der Schale, wie rechne ich den.
03.04.2014, 22:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
.. der ist doch ein Kreisring, oder ? _________ Zur Oberfläche der Halbkugel, sie ist die Hälfte der Kugeloberfläche, ist das nicht einfacher? : $\begin{eqnarray} O_{HK} = 2r^2 \pi \end{eqnarray}$ mY+
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