Minimalpolynom bestimmen

04.04.2014, 09:04	Vazrael	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom bestimmen Hi, Ich habe die Matrix A gegeben durch $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} l & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & l & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & l \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Das charakteristische Polynom lautet $\begin{eqnarray} P_A (k) = (l - k)^n \end{eqnarray}$ . Das Minimalpolynom ist ein Element der Menge $\begin{eqnarray} T := \{ \pm (l-k), \pm (l-k)^2 , ..., \pm (l-k)^n \} \end{eqnarray}$ . Ich setze nun ein, und zwar für k die Matrix A. Versuchsweise : $\begin{eqnarray} \pm (l\cdot E_n - A) \not= 0 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \pm (l \cdot E_n - A)^2 \not= 0 \end{eqnarray}$ , hier jedoch wird in der ersten Zeile für die Komponente $\begin{eqnarray} a_{1,2} \end{eqnarray}$ eine 0 erzeugt. Ich will, dass letztlich dieser 1-er an die "(n+1)-te" Stelle verschoben wird - also die erste Zeile gleich 0 ist - und das erhalte ich nur wenn $\begin{eqnarray} \pm (l \cdot E_n - A)^n \end{eqnarray}$ . Mein charakteristisches Polynom ist also bereits das Minimalpolynom. Stimmt das?
04.04.2014, 12:43	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Einfachere Wege das zu sehen sind zum Beispiel: 1. Bei Multiplikation mit einer Matrix erhöht sich die Dimension des Kerns höchstens um die Dimension des Kerns dieser Matrix. 2. Analoges Argument mit Verringerung des Ranges (Dimensionsformel) 3. Das Ganze ( $\begin{eqnarray} f=A-l \cdot E_n \end{eqnarray}$ ) als Abbildung auf einer Jordanbasis $\begin{eqnarray} v_1, ... , v_n \end{eqnarray}$ hinschreiben. Dann ist $\begin{eqnarray} f(v_1) = 0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f(v_i)= v_{i-1} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i \geq 2 \end{eqnarray}$ . lg
07.04.2014, 12:57	Vazrael	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, D.h. im Fall $\begin{eqnarray} (l-k)^2 \end{eqnarray}$ gilt für die entsprechende Matrix $\begin{eqnarray} (A-k)^2 \end{eqnarray}$ dass $\begin{eqnarray} rg(A-k)^2 \ge (n-1) \end{eqnarray}$ . Im Fall $\begin{eqnarray} (l-k)^3 \end{eqnarray}$ gilt entsprechend $\begin{eqnarray} rg(A-k)^3 \ge (n-2) \end{eqnarray}$ usw. bis schließlich $\begin{eqnarray} rg(A-k)^n \ge (n-n) = 0 \end{eqnarray}$ ? Damit braucht man dann bis auf das Minimalpolynom $\begin{eqnarray} m_A(k) = (l-k)^n \end{eqnarray}$ nichts nachprüfen. __ Wie notiert man das eigentlich mathematisch korrekt? Ist es korrekt, wenn ich schreibe Charakteristisches Polynom der Matrix A ist $\begin{eqnarray} P_A(k) = (l-k)^n \end{eqnarray}$ . Minimalpolynom der Matrix A ist $\begin{eqnarray} m_A(k) = (l-k)^n \end{eqnarray}$ ? __ Das mit 3. , also der Jordanbasis, kenne ich leider noch nicht.
09.04.2014, 09:48	Vazrael	Auf diesen Beitrag antworten »
Die algebraische Vielfachheit ist doch n, stimmts? Und die geometrische ist 1?

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