Dreieck lösen mit: Inkreisradius, Umkreisradius und einem Winkel

04.04.2014, 12:16

Sascha43

Dreieck lösen mit: Inkreisradius, Umkreisradius und einem Winkel

Meine Frage:
Hallo!

Ich habe folgende Aufgabenstellung von meinem Professor erhalten:

Umkreisradius = 19/3 * Wurzel(3)
Inkreisradius = 3* Wurzel(3)
Gamma = 60°

gesucht: "Löse das Dreieck"

Meine Ideen:
Auf Seite c komme ich über den Sinussatz $\begin{eqnarray*} 2r=c/\sin(\gamma ) \end{eqnarray*}$

Komme dann aber nicht mehr weiter...

Für die Heron'sche Formel und die Formel für den Inkreisradius fehlen Seitenangaben, für den Sinus- bzw. den Cosinussatz Seiten/Winkelangaben.

Ich bekomme langsam das Gefühl, dass hier eine Angabe fehlt, dass es sich um ein besonderes Dreieck handelt.

04.04.2014, 13:04

m@he

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RE: Dreieck lösen mit: Inkreisradius, Umkreisradius und einem Winkel
Hallo,

nutze die Inkreisradiusformel ri = 4*ra*sin(1/2*alpha)*sin(1/2*beta)*sin(1/2*gamma) und die Beziehung beta=120 - alpha und Du hast eine Gleichung mit nur einer Unbekannten!

04.04.2014, 13:56

mYthos

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Diese Gleichung ist etwas schwierig, wird aber algebraisch mittels eines weiteren Theorems* aufzulösen sein.
-----------
Alternativ liefert der Ansatz $\begin{eqnarray*} c = 2r \sin \gamma \end{eqnarray*}$ schon mal c.
Mittels Heron funktioniert es doch: Über

$\begin{eqnarray*} \tan \frac {\gamma} 2 = \frac {\rho}{s-c} \end{eqnarray*}$

gelangt man zu s (=u/2) und damit auch zu $\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ .
Da

$\begin{eqnarray*} \rho = \frac A s = \frac {ab \sin \gamma}{2s} \end{eqnarray*}$

ist

$\begin{eqnarray*} ab = \frac{2 \rho s}{\sin \gamma} \end{eqnarray*}$
_____________

$\begin{eqnarray*} \text{(*)} \ \sin x \sin y = - \frac 1 2 \left[ \cos (x+y) - \cos (x-y) \right] \end{eqnarray*}$

mY+

04.04.2014, 20:27

Fazer

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Zitat:

Original von mYthos
Alternativ liefert der Ansatz $\begin{eqnarray*} c = 2r \sin \gamma \end{eqnarray*}$ schon mal c.

Bitte beachten: r ist dann hier der Umkreisradius.

07.04.2014, 18:28

Sascha43

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Hallo!

Vielen Dank für die Antworten! Leider verstehe ich noch nicht, was dieser Lösvorschlag mit der Heronschen Formel zu tun hat verwirrt

Dieser Teil hier macht mir Probleme:

Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} \tan \frac {\gamma} 2 = \frac {\rho}{s-c} \end{eqnarray*}$

07.04.2014, 18:42

HAL 9000

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1.Schritt:

Zitat:

Original von Sascha43
Auf Seite c komme ich über den Sinussatz $\begin{eqnarray*} 2r=c/\sin(\gamma ) \end{eqnarray*}$

2.Schritt: Mit

Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} \tan \frac {\gamma} 2 = \frac {\rho}{s-c} \end{eqnarray*}$

kommst du dann an $\begin{eqnarray*} s=\frac{a+b+c}{2} \end{eqnarray*}$ , also auch an $\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ .

3.Schritt: Schließlich liefert

Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} \rho = \frac A s = \frac {ab \sin \gamma}{2s} \end{eqnarray*}$

den Wert des Produktes $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ .

Das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} a+b &=& \ldots \\ a\cdot b &=& \ldots \end{eqnarray*}$

aus Schritt 2 & 3 kannst du nun nach $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ auflösen (quadratische Gleichung, die man z.B. direkt per VIETA aufstellen kann).

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