Basis von ker(f) und bild(f)

04.04.2014, 15:56	formula	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis von ker(f) und bild(f) Meine Frage: Hallo zusammen, meine Aufgabe lautet: [attach]33824[/attach] Meine Ideen: den Kern habe ich wie folgt berechnet: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & -3 & 0 \\ 1 & 6 & 4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann habe ich $\begin{eqnarray} z=1 \end{eqnarray}$ gesetzt und daraus folgte: $\begin{eqnarray} y=-1 \end{eqnarray}$ & $\begin{eqnarray} x=2 \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} ker(f)= \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ das Bild habe ich wie folgt berechnet: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & -3 \\ 1 & 6 & 4 \end{pmatrix}^{T} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wieder zurück transponiert: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ 1 & 6 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} bild (f)= \left\{ \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ Ist das bisher überhaupt richtig? Die Basis von dem Bild müsste dann doch einfach der Span der beiden Vektoren sein, oder? Und wie ich nun auf die Basis von dem Kern kommen soll weiß ich absolut nicht. Formeln laut zweitem Beitrag korrigiert, zweiten Beitrag gelöscht. Steffen
04.04.2014, 18:21	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bringst die Begriffe Basis und der davon erzeugte Vektorraum durcheinander. Was Du berechnet hast sind nicht die Räume, sondern Basen der Räume. Der kern besteht ja nicht nur aus dem einen Vektor, den Du ausgerechnet hast, sondern auch jedem Vielfachen davon.
05.04.2014, 10:56	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Viellecht auch interessant [Artikel] Basis, Bild und Kern tigerbine out.
05.04.2014, 17:49	formula	Auf diesen Beitrag antworten »
Also muss ich jeweils den Span der Vektoren nehmen und die Vektoren selbst sind die Basen oder verstehe ich das jetzt falsch?
05.04.2014, 20:45	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig.
06.04.2014, 12:14	formula	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, viele Dank! Das hat mir sehr zum Verständnis geholfen.
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