Ableitung e-Funktion

05.04.2014, 11:49

Rivago

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Ableitung e-Funktion

Guten Morgen Wink

Wink

Ich soll die Ableitung folgender Funktion bestimmen:

$\begin{eqnarray*} f (x) = \frac{1 + e^x}{1 - e^x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ( x \neq 0 ) \end{eqnarray*}$

Unser Lehrer hat uns geraten, dass wir solche Funktionen mit Produktregel ableiten sollten, da die Fehlerquelle mit Quotientenregel bei e-Funktionen höher ist.

Doch wie sieht das hier aus?

$\begin{eqnarray*} f (x) = (1 + e^x ) \cdot (1 - e^x)^{-1} \end{eqnarray*}$

Ist dass das selbe wie:

$\begin{eqnarray*} f (x) = (1 + e^x ) \cdot (1 - e^x ) \end{eqnarray*}$

Denn $\begin{eqnarray*} 1^{-1} = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-e^{x}) ^{-1} = -e^x \end{eqnarray*}$

Oder lieg ich da falsch?

05.04.2014, 11:51

bijektion

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Zitat:

Doch wie sieht das hier aus? $\begin{eqnarray*} f (x) = (1 + e^x ) \cdot (1 - e^x)^{-1} \end{eqnarray*}$ Ist dass das selbe wie: $\begin{eqnarray*} f (x) = (1 + e^x ) \cdot (1 - e^x ) \end{eqnarray*}$

Warum sollte das gleich sein?

Zitat:

Denn $\begin{eqnarray*} 1^{-1} = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-e^{x}) ^{-1} = -e^x \end{eqnarray*}$

Das ist nicht richtig, es ist $\begin{eqnarray*} (-e^{x}) ^{-1} = -e^{-x} \end{eqnarray*}$ .

05.04.2014, 11:58

Helferlein

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Ja, liegst Du. Wenn man bei negative Exponenten das Vorzeichen ignorieren würde, bräuchte man sie ja gar nicht und dein Umschreibung wäre schon falsch gewesen.
Negative Exponenten sind einfach eine Umschreibung dafür, dass der Kehrwert genommen wird, also $\begin{eqnarray*} x^{-1}=\frac 1x \end{eqnarray*}$ .

Du brauchst die Produktregel und die Kettenregel zur Ableitung der Funktion.

Mit $\begin{eqnarray*} u(x)=(1+e^x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(x)=(1-e^x)^{-1} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} u'(x)=... \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'(x)=... \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Zu langsam, bijektion darf gerne weiter machen.

05.04.2014, 11:59

Rivago

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Achso

smile

Also ich hab dann jetzt erstmal folgendes:

$\begin{eqnarray*} f (x) = (1 + e^x) \cdot (1 - e^{-x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u' = e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v' = e^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f ' (x) = e^x \cdot (1 - e^{-x}) + (1 + e^x) \cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

Stimmt das erstmal bis hier hin? Was klammer ich denn jetzt aus? e^(-x) oder e^x? verwirrt

verwirrt

05.04.2014, 12:05

bijektion

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} f (x) = (1 + e^x) \cdot (1 - e^{-x}) \end{eqnarray*}$

Das ist noch falsch.
Es ist $\begin{eqnarray*} f(x)=(1+e^x) \cdot (1-e^x)^{-1} \end{eqnarray*}$ , aber es ist $\begin{eqnarray*} (1-e^x)^{-1} \neq (1-e^{-x}) \end{eqnarray*}$ .
Versuch nichts auszuklammern, sondern wende einfach die Produktregel an, mit den Faktoren wie Helferlein es schon angegeben hat smile

smile

05.04.2014, 12:12

Rivago

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Hmm, wieso darf man das denn nicht so umschreiben, wie ich es gemacht hab? Also warum ist $\begin{eqnarray*} (1-e^x)^{-1} = (1-e^{-x}) \end{eqnarray*}$ falsch?

Wie leite ich denn $\begin{eqnarray*} (1-e^x)^{-1} \end{eqnarray*}$ ab?

Das ist ja dann v'

Also $\begin{eqnarray*} v' = (-1) (1 - e^x)^{-2} \cdot e^x \end{eqnarray*}$

Oder ist das wieder falsch?

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05.04.2014, 12:42

bijektion

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Zitat:

Hmm, wieso darf man das denn nicht so umschreiben, wie ich es gemacht hab?

Da man Exponenten nicht einfach auf einzelne Summanden verteilen darf. Es ist doch auch im allgemeinen $\begin{eqnarray*} (a+b)^2 \neq a^2+b^2 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Wie leite ich denn $\begin{eqnarray*} (1-e^x)^{-1} \end{eqnarray*}$ ab?

Wenn $\begin{eqnarray*} v(x)=(1-e^x)^{-1} \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} v'(x)=(-1)\cdot (1-e^x)^{-2} \cdot e^x \cdot \color{red}{(-1) } \end{eqnarray*}$ , dir ist ein $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ beim nachdifferenzieren abhanden gekommen.

05.04.2014, 12:49

Rivago

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$\begin{eqnarray*} v'(x)=(-1)\cdot (1-e^x)^{-2} \cdot e^x \cdot (-1) \end{eqnarray*}$

Ahhh okay, dann ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} -e^x \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} -e^x = e^x \cdot (-1) \end{eqnarray*}$ ??

Also angenommen ich hätte folgende Funktion:
$\begin{eqnarray*} f (x) = -e^x \end{eqnarray*}$

Dann ist die Ableitung dieser Funktion:
$\begin{eqnarray*} f ' (x) = -e^x = e^x \cdot (-1) \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

05.04.2014, 12:50

bijektion

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Ja genau.

05.04.2014, 13:02

Rivago

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Okay.. dann mal los..

$\begin{eqnarray*} f ' (x) = e^x \cdot (1-e^x)^{-1} + (1 + e^x) \cdot (-1) \cdot (1 - e^x)^{-2} \cdot e^x \cdot (-1) \end{eqnarray*}$

Oh je, und jetzt ausklammern..

Ich hab es mal versucht, aber glaube kaum das es richtig ist:

$\begin{eqnarray*} f ' (x) = e^x \cdot ( (1 - e^x)^{-1} + ( 1 + e^x ) \cdot (-1) \cdot (1 - e^x)^{-2} \cdot (-1) ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f ' (x) = e^x \cdot ( (1 - e^x)^{-1} + (-1 - e^x) \cdot (-1 + e^x)^{-2}) \end{eqnarray*}$

Ich hab das Gefühl, dass es falsch ist unglücklich

unglücklich

05.04.2014, 13:06

bijektion

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} f ' (x) = e^x \cdot (1-e^x)^{-1} + (1 + e^x) \cdot (-1) \cdot (1 - e^x)^{-2} \cdot e^x \cdot (-1) \end{eqnarray*}$

Die Ableitung ist korrekt. Das Faktorisieren von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ läuft auch noch richtig, aber anschließend kannst noch $\begin{eqnarray*} (1-e^x)^{-1} \end{eqnarray*}$ ausklammern.
Beachte insb. $\begin{eqnarray*} (-1)\cdot (-1)=1 \end{eqnarray*}$ !

05.04.2014, 13:11

Rivago

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Mhh ich glaub ich bin raus unglücklich

unglücklich

Weiß nicht so richtig wie ich das machen soll.. frage mich gerade, ob hier die Produktregel wirklich besser sein soll als die Quotientenregel.

Edit: Ich muss jetzt erstmal für ca. 4 Stunden weg. Werde mich heute Abend wieder melden. Bis dann Freude

Freude

05.04.2014, 13:17

bijektion

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Zitat:

frage mich gerade, ob hier die Produktregel wirklich besser sein soll als die Quotientenregel.

Nein, ist sie nicht, finde ich zumindest.

05.04.2014, 20:31

Rivago

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Hmm, also ich komm bei dieser Funktion mit der Produktregel nicht zurecht. Weiß leider nicht wie ich da ausklammern soll.

Ich hab es jetzt mit Quotientenregel versucht, aber das wird auch nicht besser. Mich irritiert, dass in den Klammern jeweils e^x vorkommt.

$\begin{eqnarray*} f ' (x) = \frac{e^x \cdot (1 - e^x) - [ (1 + e^x) \cdot e^x \cdot (-1) ]}{(1 - e^x)^2} \end{eqnarray*}$

(1 - e^x) kann ich ja nicht kürzen, richtig?

Würde e^x ausklammern, aber weiß nicht ob ich das richtig mach..

$\begin{eqnarray*} f ' (x) = \frac{e^x \cdot (1 - e^x) - [ (1 + e^x) \cdot (-1) ]}{(1 - e^x)^2} \end{eqnarray*}$

Und jetzt den die hintere Klammer mit (-1) multiplizieren und anschließend zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} f ' (x) = \frac{e^x (2 + 2e^x)}{(1 - e^x)^2} \end{eqnarray*}$

05.04.2014, 20:39

Helferlein

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Fast richtig. So würde es passen:

$\begin{eqnarray*} f ' (x) = \frac{e^x \cdot \color{red}[\color{black}(1 - e^x) - (1 + e^x) \cdot (-1) ]}{(1 - e^x)^2} \end{eqnarray*}$

05.04.2014, 20:42

Rivago

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Und das kann man jetzt nicht weiter vereinfachen? Weil eine 2. Ableitung sollen wir dazu auch noch machen unglücklich

unglücklich

Zum Beispiel hinten mit -1 multiplizieren? Denn das hab ich gemacht.

05.04.2014, 20:44

Helferlein

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Du kannst in der großen Klammer noch zusammenfassen. Ich wollte nur deinen Klammerfehler aufzeigen.

05.04.2014, 20:48

Rivago

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Ahh

smile

Dann müsste es so passen:

$\begin{eqnarray*} f ' (x) = \frac{e^x \cdot 2}{(1 - e^x)^2} \end{eqnarray*}$

Edit:

Meine 2. Ableitung sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} f '' (x) = \frac{2e^x (1 + e^x)}{(1-e^x)^3} \end{eqnarray*}$

05.04.2014, 22:33

Helferlein

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korrekt

Freude

05.04.2014, 23:58

Rivago

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Gott sei Dank smile

smile

Die Ableitung von e-Funktionen ist echt etwas gewöhnungsbedürftig verwirrt

verwirrt

Macht es denn Sinn, das jetzt noch weiter zu vereinfachen?

$\begin{eqnarray*} f '' (x) = \frac{2e^x (1 + e^x)}{(1-e^x)^3} = \frac{2e^x + 2e^{x²}}{(1-e^x)^3} \end{eqnarray*}$

Ich denke mal, dass das bspw. für die 3. Ableitung besser wäre, falls man eine machen müsste.

Oder wie macht man die Ableitung von $\begin{eqnarray*} v (x) = 2e^x (1 + e^x) \end{eqnarray*}$ ??

Wäre die Ableitung dann $\begin{eqnarray*} v ' (x) = 2e^x \cdot e^x \end{eqnarray*}$ ?

06.04.2014, 01:14

bijektion

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Die weitere Vereinfachung ist nicht richtig, ich finde auch das es den Term eher schwieriger macht. Es ist $\begin{eqnarray*} (2\cdot e^x) \cdot e^x = 2\cdot e^{2\cdot x} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Oder wie macht man die Ableitung von $\begin{eqnarray*} v (x) = 2e^x (1 + e^x) \end{eqnarray*}$ ??

Deine Lösung ist falsch, du musst die Produkt- und die Kettenregel nutzen, und zwar mit $\begin{eqnarray*} u(x)=2\cdot e^x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w(x)=1+e^x \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} v(x)=u(x) \cdot w(x) \end{eqnarray*}$ ; dir fehlt hier der erste Summand der Ableitung.

06.04.2014, 12:26

Rivago

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Hmm.. ich weiß grad nicht was bei meiner Ableitung fehlt?! verwirrt

verwirrt

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