Zusammenhang Satz von Abel und Nichtauflösbarkeit der A_5

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Duude Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhang Satz von Abel und Nichtauflösbarkeit der A_5
Hallo zusammen,
wie hängt denn der Satz von Abel (Nichtauflösbarkeit von Gleichungen der Art für durch wiederholtes Wurzelziehen) mit der Auflösbarkeit der Gruppe für zusammen?

In der Gruppentheorie habe ich die Nichtauflösbarkeit von Gruppen verstanden. Der Satz von Abel wird aber ja über die Galoistheorie bewiesen.

Ich glaube, dass das über den Satz von Galois geht, habe aber den Zusammenhang noch nicht ganz verstanden:

Satz (Galois)
Sei char(K)=0, nicht konstant. Sei L der Zerfällungskörper von f über K.
Ist f durch Radikale (d.h. durch wiederholtes Wurzelziehen) auflösbar, so ist Aut(L,K) eine auflösbare Gruppe.

Wir verwenden dann ja hier:
Ist Aut(L,K) keine auflösbare Gruppe (z.B. die , so ist f nicht durch Radikale auflösbar.

ok, die ist nicht auflösbar, eine Gleichung der Art oben vom Grad 5 hat 5 Nullstellen, die im Zerfällungskörper liegen und mit Elementen aus der Automorphismengruppe untereinander permutiert werden. Aber warum ist die Automorphismengruppe dann nicht z.B. die . Warum werden bestimmte Perumtationen ausgeschlossen?

Und sind Gleichungen vom Grad 6 dann nicht durch Radikale auflösbar, weil die nicht auflösbar ist?

Freue mich über Hilfe und Anmerkungen, ob ich auf dem richtigen Weg bin.
lg Duude
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusammenhang Satz von Abel und Nichtauflösbarkeit der A_5
hallo duude,
das allgemeine polynom n-ten grades hat die galoisgruppe S_n, die gruppen
S_1 bis S_4 sind auflösbar, ab S_5 nicht mehr. Die kleinste nichtauflösbare
gruppe ist die A_5, das ist eine untergruppe von S_5. Und wenn eine gruppe
eine nicht auflösbare untergruppe hat, kann die gruppe selbst erst recht nicht
auflösbar sein. Und deswegen können die höheren gruppen S_6, S_7 usw.
erst recht nicht auflösbar sein.
gruss ollie3
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

Hey ollie3 smile Danke erstmal, dass du dich mal wieder meiner Algebra-Probleme annimmst Augenzwinkern

ok, also der zweite Teil ist mir jetzt klar. Mit dem Satz von Galois bekomme ich das Ergebnis.

Ich hänge noch hier (was ich ja brauche, um den Satz anwenden zu können):

Zitat:
das allgemeine polynom n-ten grades hat die galoisgruppe S_n


Verstehst du unter dem allgemeinen Polynom dieses hier: ?

Ich dachte ein Polynom n-ten Grades hat maximal die S_n als Galoisgruppe(Voraussetzung dafür ist, dass f irreduzibel ist), oft aber auch nur eine Untergruppe davon.

Dann müsste das allgemeine Polynom ja immer irreduzibel sein. Und das erscheint mir für beliebige Koeffizienten fraglich.

Oder habe ich das jetzt falsch verstanden?


Mal noch eine blöde Frage:

Die Galoisgruppe ist die Automorphismengruppe über dem Zerfällungskörper, richtig?

Also sei nicht-konstant. L Zerfällungskörper von f. Dann gilt Aut(L,K)=Gal(f,Q)

Wenn L nur irgendeine Körpererweiterung ungleich dem Zerfällungskörper wäre, könnte ich also nicht von einer Galoisgruppe sprechen?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
jaja, ich bin algebra-fan Augenzwinkern
Und ja, mit dem allgemeinen polynom n-ten grades ist das von dir beschriebene
polynom gemeint. Und als solches sagt man, dass es zunächst, wenn alle
koeffizienten frei und ohne einschränkungen wählbar sind, die galoisgruppe
S_n hat. Wenn man jedoch konkrete koeffizienten vorgegeben hat, wird
man oft nur noch eine untergruppe davon als galoisgruppe haben.
Und ja, die galoisgruppe, die man betrachtet, bezieht sich natürlich immer
auf den jeweiligen grundkörper (das zu deiner zweiten frage).
gruss ollie3
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube es tritt hier ein kleines Missverständnis auf, was mit "allgemeinem Polynom" gemeint ist.

Das allgemeine Polynom ist das Polynom .

Dabei sind die die elementarsymmetrischen Polynome in . Der Zerfällungskörper ist dann natürlich , weil die gerade die Nullstellen sind.

Die Tatsache, dass dieses Polynom Galoisgruppe hat, nennt man auch den Hauptsatz über elementarsymmetrische Polynome (Den kennst du bestimmt, nur etwas anders formuliert).
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