Variation d. Konstanten beim RC-Schwingkreis

05.04.2014, 12:06

laienstefan

Variation d. Konstanten beim RC-Schwingkreis

Wenn ich einen LR-Schwingkreis oder so habe, klappt das alles ohne Probleme.
Beim RC gerate ich allerdings ins Stocken, und zwar deswegen:

Der Ansatz ist einfach $\begin{eqnarray*} U_0 = U_C + R*i \end{eqnarray*}$ und abgeleitet

$\begin{eqnarray*} 0 = C * i + R \frac{di}{dt} \end{eqnarray*}$

Durch Trennung d. Variablen kommt man schnell auf i = k * e^{- \frac{t}{RC}} [/latex] als homogene Lösung. In der Partikulären ist einfach das k von t abhängig, also k(t).

Dann ist $\begin{eqnarray*} i_p' = k '(t) * e^{- \frac{t}{RC}} - k(t) \frac{1}{RC} * e^{- \frac{t}{RC}} \end{eqnarray*}$

Und hier kommt mein Problem. Normal kann man das dann so schön in die ursprüngliche DGL einsetzen, aber so ohne weiteres geht das hier ja nicht, denn in der ganz ursprünglichen DGL steht ja das Integral von i (oder muss ich das hier bilden?) und in der schon abgeleiteten Form wäre k'(t) = ß und k(t) = C, was ich dann nur über den Grenzwert der Spannung, also praktischen Überlegungen, erhalten würde. Dabbei war die Variation der Konstanten für mich immer ein Weg, keine Bedingungen kennen zu müssen, was bei der Induktivität ja z.B. auch klappt! Wie kann ich denn hier vorgehen?

05.04.2014, 20:48

thk

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RE: Variation d. Konstanten beim RC-Schwingkreis
Hallo laienstefan,

die DGL lautet erst mal $\begin{eqnarray*} 0 = \frac{i}{c} + R \frac{di}{dt} \end{eqnarray*}$
Durch Gegenfehler stimmt die allg. Lösung dann wieder.
Da die linke Seite der DGL null ist, kommt mit $\begin{eqnarray*} \frac{di}{dt} = -\frac{1}{RC} \end{eqnarray*}$ bei einer Variation der Konstanten k'=0 raus.
Falls du den Spannungsverlauf brauchst, stelle ab besten die DGL für Q auf und setze i=Q'.

05.04.2014, 21:09

laienstefan

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RE: Variation d. Konstanten beim RC-Schwingkreis
Also bekomme ich über den Strom keine partikuläre Lösung, es sei denn, ich kenene den Zustand im Unendlichen? Oft (oder immer?) ist die partikluläre Lösung ja gerade der Vorfaktor vor der Exponentialfunktion.
Das mit der ladung macht natürlich Sinn, aber komme ich dann so einfach wieder auf den Strom zurück, wenn nach diesem gefragt ist?

05.04.2014, 22:32

thk

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RE: Variation d. Konstanten beim RC-Schwingkreis
Wenn U_0 konstant ist, dann gilt tatsächlich $\begin{eqnarray*} 0 = \frac{i}{c} + R \frac{di}{dt} \end{eqnarray*}$
und es gibt keine partikuläre Lösung. Beim Entladen gilt $\begin{eqnarray*} i=-i_0 * e^{- \frac{t}{RC}} \end{eqnarray*}$ , beim Aufladen ist $\begin{eqnarray*} i_0=\frac{U_0}{R} \end{eqnarray*}$ entsprechend positiv.

Beim Ansatz über die Ladung erhältst du im Aufladefall eine part. Lösung, weil ja auf einer Seite U_0 steht. Wenn du die Gleichung Q(t) am Ende wieder nach der Zeit ableitest erhältst du i(t) wie oben smile

05.04.2014, 22:55

laienstefan

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RE: Variation d. Konstanten beim RC-Schwingkreis

Zitat:

Original von thk
Wenn U_0 konstant ist, dann gilt tatsächlich $\begin{eqnarray*} 0 = \frac{i}{c} + R \frac{di}{dt} \end{eqnarray*}$
und es gibt keine partikuläre Lösung. Beim Entladen gilt $\begin{eqnarray*} i=-i_0 * e^{- \frac{t}{RC}} \end{eqnarray*}$ , beim Aufladen ist $\begin{eqnarray*} i_0=\frac{U_0}{R} \end{eqnarray*}$ entsprechend positiv.

Beim Ansatz über die Ladung erhältst du im Aufladefall eine part. Lösung, weil ja auf einer Seite U_0 steht. Wenn du die Gleichung Q(t) am Ende wieder nach der Zeit ableitest erhältst du i(t) wie oben smile

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