Wie funktioniert der Extremalsatz von Weierstraß?

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twee Auf diesen Beitrag antworten »
Wie funktioniert der Extremalsatz von Weierstraß?
Meine Frage:
Ich verstehe nicht den Extremalsatz und hab mich schon im Internet und Büchern darüber informiert. Nur leider ist es der Fall, dass es so kompliziert erklärt wird. Man versteht also gar nix. Könnte man anhand eines Beispiels erklären, wie der Extremalsatz funktioniert? Wär echt lieb. Danke im voraus
LG

Meine Ideen:
Es wird irgendwas von folgenkompakt und dass es daher ein Maximum und ein Minimum besitzt -das verstehe ich gar nicht.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Welchen Satz meinst du genau? Vielleicht diesen hier: Satz von Minimum und Maximum?
twee Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, den meine ich
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuch's mal, zu erklären:
Du hast eine kompakte Teilmenge (also beschränkt und abgeschlossen). Auf dieser Menge ist eine Funktion definiert. Außerdem muss f stetig sein.
Dann nimmt f auf dieser Menge sein globales Minimum und Maximum an. D.h. es gibt Stellen in , sodass die zugehörigen Funktionswerte größer/gleich (bzw. kleiner/gleich) allen anderen Funktionswerten, die zu Stellen in gehören, sind.

Ein Beispiel: ist kompakt (weil beschränkt und abgeschlossen). hat das globale Maximum 1, und das globale Minimum 0. Diese beiden Funktionswerte werden tatsächlich angenommen, denn . Es gilt also .


Einige Gegenbeispiele, bei denen die Voraussetzungen nicht erfüllt sind:
ist nicht abgeschlossen, also auch nicht kompakt. Die Funktion hat das globale Maximum 1 mit . Das Infimum der Funktionswerte ist 0. Dieser Wert wird allerdings nicht angenommen, es gibt also kein mit . Deswegen besitzt diese Funktion kein globales Minimum.

Noch ein Gegenbeispiel: ist abgeschlossen, aber nicht beschränkt, also auch nicht kompakt. Die Funktion besitzt kein globales Maximum, denn es gibt kein , sodass größer ist als jeder andere Funktionswert. Also: Es gibt kein mit .

Bis jetzt waren alle Funktionen stetig. Jetzt mal eine unstetige Funktion. Dieses Mal nehmen wir das kompakte Intervall , aber eine unstetige Funktion
Diese Funktion besitzt kein globales Minimum.


Du siehst also: Man benötigt tatsächlich alle Voraussetzungen, die in dem Satz genannt werden.
twee Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank
twee Auf diesen Beitrag antworten »

und wie funktioniert das mit lim? was für ne rolle spielt lim dabei?
 
 
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wo soll da ein Grenzwert drin vorkommen? Ich kenne den Satz nur so, wie er auf Wikipedia steht und wie ich es oben erklärt habe.
Könntest du nochmal genauer beschreiben, wo da ein Grenzwert drin vorkommen soll?
twee Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte eig., ob du mir ein Beispiel mit lim geben könntest, weil ich es noch nicht mit lim verstanden habe. Das wär echt nett
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hat das jetzt noch was mit dem Extremalsatz zu tun? verwirrt

Außerdem ist die Frage nicht gerade präzise gestellt. Was soll denn "ein Beispiel mit lim" sein?
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