Matrix diagonalisierbar?

05.04.2014, 16:06	Kurtiiii	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix diagonalisierbar? Meine Frage: Hallo Leute, ich tue mich gerade schwer bei folgender Aufgabe. Sei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine Matrix mit Einträgen aus $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ und es existiert ein natürliche Zahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A^n=I \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ die Einheitsmatrix ist. Dann soll $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ diagonalisierbar sein. Meine Ideen: Ok, ich weiß, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt und, dass $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ invertierbar ist. Jetzt müsst ich ja irgendwie zeigen, dass die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen ist. Kann mir jemand helfen?
05.04.2014, 16:44	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde an die Aufgabe anders herangehen. Sei $\begin{eqnarray} f:\mathbb{C}^m \to \mathbb{C}^m \end{eqnarray}$ eine Lineare Abbildung mit $\begin{eqnarray} f(\vec{v})=A \cdot \vec{v} \end{eqnarray}$ . Wenn $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ diagonalisierbar ist, ist die Lineare Abb. $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ diagonalisierbar. Da Matrixmultiplikation gerade der verkettung Lin. Abb. entspricht, wissen wir, dass es ein $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ gibt, mit $\begin{eqnarray} f^{(n)}=id \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} f^{(n)} \end{eqnarray}$ der n-fachen Hintereinanderausführung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ entspricht. Wenn $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ invertierbar ist, dann ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ein Isomorphismus. Was kannst du nun folgern? EDIT: Ich setzt $\begin{eqnarray} A\in M_{m \times m}(\mathbb{C}) \end{eqnarray}$ .
07.04.2014, 09:45	Kurtiiii	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey bijektion, danke für die Antwort. Aber so ganz seh ich es noch nicht. Ok, wenn A invertierbar, dann bekomm ich A durch elementare Zeilentransformationen auf eine Diagonalmatrix. Leieder seh ich, dass sie denn auch zu einer änhlich ist. Leider weiß ich auch nicht, warum ich f betrachten sollte anstatt A. Kannst du mir noch einen Tip geben. LG
07.04.2014, 11:10	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrix diagonalisierbar? Am bequemsten ist es vielleicht, zu zeigen, dass die Linearfaktoren des Minimalpolynoms paarweise verschieden sind. Das ist mit $\begin{eqnarray} A^n-I=0 \end{eqnarray}$ fast schon gegeben.
07.04.2014, 13:14	Kurtiiii	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau. ok, da $\begin{eqnarray} A^n-I=0 \end{eqnarray}$ hab ich ein Polynom, was vom Minimalpolynom geteilt wird. Aber irgendwie krieg ich es nicht hin. Könnt ihr nochmal helfen? Danke euch beiden.

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