Kurvenschar, minimaler Abstand

05.04.2014, 16:34	Cravour	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenschar, minimaler Abstand Hi , ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe, weil ich damit überhaupt nicht zurecht komme: Für welchen Wert von a ist der Abstand der Extremalpunkte minimal? $\begin{eqnarray} f_a(x)=\frac{3-a²x²}{x³}; a>0 \end{eqnarray}$ In der Teilaufgabe vorher habe ich die Extrema berechnet: $\begin{eqnarray} T(\frac3a / \frac{-2a³}{9}) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} H(-\frac3a / \frac{2a³}{9}) \end{eqnarray}$ . Ich dachte das läuft auf eine Extremwertaufgabe hinaus und habe versucht, die Hauptbedingung aufzustellen: d=y_T - y_H soll minimal sein. Ich bezweifle, dass das korrekt ist und komme auch nicht weiter... Könnte mir jemand bitte einen Ansatz geben?
05.04.2014, 16:37	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} y_T-y_H \end{eqnarray}$ ist ja einfach nur die Differenz der beiden Funktionswerte. Du musst hier aber den Abstand der beiden Punkte berechnen. Das geht mit Satz des Pythagoras.
05.04.2014, 16:48	Cravour	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Ergebnis sieht ziemlich seltsam aus : $\begin{eqnarray} d=\frac{2\cdot \sqrt{4a^8+729}}{9\cdot a} \end{eqnarray}$ Im Nenner soll l a l stehen (wusste nicht, wie ich die Betragsstriche hinkriege).
05.04.2014, 17:01	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion stimmt. Einen senkrechten Strich kriegst du in LATEX mit \mid. Oder du benutzt einfach den auf deiner Tastatur (wenn vorhanden). Das ist hier aber gar nicht nötig, weil a sowieso positiv ist. Von dieser Funktion musst du jetzt das Minimum berechnen. Dazu noch ein Tipp: Du könntest jetzt die Funktion, die du da stehen hast, benutzen. Allerdings hast du dann die Wurzel da drin, weswegen sich das nicht so schön ableiten lässt. Weil hier die Funktion immer positiv ist, kann man sie quadrieren. Dadurch ändern sich zwar die Funktionswerte, nicht aber die Extremstellen / Art der Extremstellen (aber dieser Trick funktioniert nur, wenn alle Funktionswerte nicht negativ sind; sonst kann das schief gehen). Und die quadrierte Funktion ist ein einfaches Polynom, das sich sehr leicht ableiten lässt.
05.04.2014, 17:10	Cravour	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitungen mache ich mit dem Grafiktaschenrechner und komme auf d'(x)=0. Wie kann ich denn die Extremstelle berechnen, wenn d'(x)=0?
05.04.2014, 17:13	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
d ist doch eine Funktion von a, also muss d'(a)=0 sein. Das stellst du einfach nach a um.
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05.04.2014, 17:19	Cravour	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh, hab es falsch in den Rechner eingegeben^^. Ich habe die Werte mal gerundet: T(1,7 l 4,1)
05.04.2014, 17:26	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt.
05.04.2014, 17:28	Cravour	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist der Abstand der Extremalpunkte für a=1,7 minimal. War ja leichter als es aussah . Danke dir

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