Abstand zwischen Punkten von Gerade und Ellipse

05.04.2014, 16:53

Bella_x

Abstand zwischen Punkten von Gerade und Ellipse

Meine Frage:
Hallo, ich habe eine Frage zum folgendem Bsp:

Welche Punkte der Geraden g:y = x + 1 sind jeweils von einem Haupt- und einem Nebenscheitel der ell: x² + 4y² = 136 in 1 HL gleich weit entfernt?

Meine Ideen:
ell: x² + 4y² = 136
1/136x² + 4/136y² = 1

x² / (1/136) + y² / (4/136) = 1

136 = a² 34 = b²

Scheitel

A (- Wurzel 136 | 0)
B ( Wurzel 136 | 0)
C ( 0 | Wurzel 34)
D ( 0 | - Wurzel 34)

g:y = x + 1

y = x + 1
x = y - 1

-------------

Ich versteh nicht wie ich auf die Punkte kommen soll mit dennen ich dann den Abstand d berechne.

05.04.2014, 18:02

Bürgi

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RE: Abstand zwischen Punkten von Gerade und Ellipse
Hallo,

nimm zuerst die Scheitel $\begin{eqnarray*} B\left(\sqrt{136} | 0 \right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C\left(0~ |~\sqrt{34} \right) \end{eqnarray*}$ . Alle Punkte auf der gegebenen Gerade haben die Koordinaten P(p | p+1).

Berechne nun die Entfernung $\begin{eqnarray*} |\overline{BP}| \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} |\overline{CP}| \end{eqnarray*}$ (Stichwort Pythagoras). Beide Entfernungen müssen gleich sein, d.h. Du bekommst eine Gleichung in p.

EDIT: Skizze zur Veranschaulichung und Kontrolle

05.04.2014, 19:35

bella_x

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Danke!

Etwas stimmt trotzdem nicht (vl hab ich es falsch verstanden)

|BP| = (p) * Wurzel 136 = Wurzel 136p
(p + 1)

|CP| = (p) * (0) = Wurzel 34p + Wurzel 34
(p + 1 ) (Wurzel 34)

|BC| = ( Wurzel 170)

c² = 136p + 34p + 34
c² = 170p + 34

170 = 170p + 34
p = 0.8

05.04.2014, 20:08

riwe

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der Abstand 2er Punkte P und Q beträgt:

$\begin{eqnarray*} d^2=(x_P-x_Q)^2+(y_P-y_Q)^2 \end{eqnarray*}$

05.04.2014, 21:00

Bella_x

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Ok dann bekomme ich für P

P (1,2 | 2,2)

In der Lösung stehen 4 Punkte.

P1 (5/2 | 7/2) P1 (- 5/6 | 1/6 ) P1 ( -1/2 | 1/2) P1 (1/6 | 7/6)

Was muss ich als nächstes mit P machen?

05.04.2014, 21:31

Bürgi

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Hallo,

wie Du zu diesen Ergebnissen gekommen bist, kann ich nicht nachvollziehen.

Wenn Du riwes Hinweis benutzt, bekommst Du als Entfernung

$\begin{eqnarray*} |\overline{BP}| = \sqrt{(p-\sqrt{136})^2+(p+1-0)^2} \end{eqnarray*}$

und als Entfernung

$\begin{eqnarray*} |\overline{CP}| = \sqrt{(p-0)^2+(p+1-\sqrt{34})^2} \end{eqnarray*}$

Diese beiden Entfernungen sollen laut Aufgabenstellung gleich groß sein. Das ergibt eine Gleichung in p, die Du lösen kannst.

05.04.2014, 21:40

bella_x

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Danke jetzt schaff ich das Bsp glaub ich schon von allein smile

05.04.2014, 21:44

Bürgi

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Viel Erfolg!

Du kannst ja (nur zur Kontrolle, selbstverständlich!) Deine Ergebnisse posten.

(Noch ein Tipp: Die Wurzeln nicht als Dezimalzahlen schreiben. Durch das notwendige Runden werden die Endergebnisse sonst zu ungenau)

06.04.2014, 06:35

Bürgi

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RE: Abstand zwischen Punkten von Gerade und Ellipse
Guten Morgen,

ich weiß ja nicht, ob Du hier noch einmal reinschaust, falls ja:

Zitat:

Welche Punkte der Geraden g:y = x + 1 sind jeweils von einem Haupt- und einem Nebenscheitel der ell: x² + 4y² = 136 in 1 HL gleich weit entfernt?

Benutze für die Berechnung des 2. Punktes folgende Tatsachen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{136} = 2 \cdot \sqrt{34} \end{eqnarray*}$
Die Mittelsenkrechte von AD ist der geometrische Ort aller Punkte, die von A und D gleich weit entfernt sind.
Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von AD mit der gegebenen Gerade ist der gesuchte Punkt.

Zur Erläuterung habe ich eine Skizze angehängt.

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