Beweis Vorkurs

05.04.2014, 18:38

donot

Beweis Vorkurs

Hallo liebe Community,
ich habe vor wenigen Tagen angefangen, Mathe zu studieren und bin momentan im Vorkurs.
Wir sollten in einer Übung beweisen, dass

$\begin{eqnarray*} \forall 0<a\in\mathbb R\exists n \in \mathbb N : 0<\frac{1}{n}<a \end{eqnarray*}$

Ich habe mir gedacht, das mache ich mit nem schönen Widerspruchsbeweis:
Angenommen, es existiert ein
$\begin{eqnarray*} a\leq \frac{1}{n} \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a\cdot n\leq 1 \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ dann ist 1 kleinste obere Schranke von $\begin{eqnarray*} a\cdot n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a\cdot (n+1)\leq 1 \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a\cdot n+ a\leq 1\forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a\cdot n\leq 1- a \end{eqnarray*}$

Und hier ist der Widerspruch, weil ja 1 schon kleinste obere Schranke ist.
Somit muss die Behauptung ganz oben stimmen.

Jetzt kommt mir das ganze aber schon verdächtig falsch vor, weshalb ich einen von euch erfahrenen Usern bitten würde, mal einen Blick darauf zu werfen... ist meine Lösung falsch? Wenn ja, was wäre ein weiterer Lösungsansatz?

05.04.2014, 19:20

Dopap

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und warum sollte der Beweis nicht direkt gehen?

05.04.2014, 20:18

donot

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Ich habe nicht behauptet, dass der Beweis nicht direkt geht.
Ich bin nur nicht auf einen direkten Beweis gekommen, habe es deshalb mal durch Widerspruch versucht und wollte nun mal jemand Erahrenes draufschauen lassen.

05.04.2014, 22:17

Optimizer

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RE: Probleme mit Beweis Vorkurs

Zitat:

Original von donot
$\begin{eqnarray*} a\cdot n\leq 1 \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ dann ist 1 kleinste obere Schranke von $\begin{eqnarray*} a\cdot n \end{eqnarray*}$

Warum muss 1 eine kleinste (!) obere Schranke sein?

06.04.2014, 08:57

donot

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Weil jedes a * n kleiner oder gleich 1 ist...
Oder?

06.04.2014, 09:14

donot

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... ich meine, a * n kann auf gar keinen Fall größer als 1 sein.

Und dann haben wir noch das kleiner-gleich - a*n kann also gleich 1 sein.

Ich dachte, folglich sei 1 das Supremum.

06.04.2014, 22:03

donot

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na, erbarmt sich noch jemand? ... unglücklich

06.04.2014, 22:21

10001000Nick1

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Wie ja oben schon festgestellt wurde, muss 1 nicht die kleinste obere Schranke von $\begin{eqnarray*} \left\{ a\cdot n |n\in\mathbb{N} \right\} \end{eqnarray*}$ sein.

Aber das ist hier eigentlich egal.
Du hast ja schon geschrieben, dass dann gelten muss: $\begin{eqnarray*} a\cdot n\leq 1 \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ erhältst du daraus mit dem Archimedischen Axiom einen Widerspruch.

Edit: Ich sehe gerade, dass das eine Aufgabe aus dem Vorkurs ist. Ich weiß nicht, ob das Archimedische Axiom da schon bekannt ist.
Dann ein bisschen anders: Guck dir mal an, was mit $\begin{eqnarray*} a\cdot n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n>\frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ passiert.

25.04.2014, 21:51

donot

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Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen!

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