Wie funktioniert der Nullstellensatz von Bolzano?

05.04.2014, 20:03	twee	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie funktioniert der Nullstellensatz von Bolzano? Meine Frage: Ich verstehe nicht den Nullstellensatz und hab mich schon im Internet und Büchern darüber informiert. Nur leider ist es der Fall, dass es so kompliziert erklärt wird. Man versteht also gar nix. Könnte man anhand eines Beispiels erklären, wie der Nullstellensatz funktioniert? Wär echt lieb. Danke im voraus LG PS: Bitte verständlich erklären Meine Ideen: Ich weiß nur, dass es einen Punkt unter Null und über Null existiert, daher resultiert draus dass es einen Punkt Null gibt -ich bin mir nicht sicher ob ichs wirklich verstanden hab
05.04.2014, 20:37	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie funktioniert der Nullstellensatz von Bolzano? Der Nullstellensatz von Bolzano ist eine direkte Folgerung aus dem Zwischenwertsatz (siehe meinen Beitrag dort): Wieder hast du eine stetige Funktion von einem Intervall $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ weg nach $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ Dieses Mal gibt es noch eine Voraussetzung: $\begin{eqnarray} f(a)<0<f(b) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} f(b)<0<f(a) \end{eqnarray}$ , also ein Wert positiv, der andere negativ. Dann gibt es eine Nullstelle. Warum? Nun, aus dem Zwischenwertsatz wissen wir, dass jedes $\begin{eqnarray} y\in[a,b] \end{eqnarray}$ ein Urbild hat. Weil nun wegen der Voraussetzung an f(a) und f(b) die null in diesem Intervall ist, hat auch sie ein Urbild, also gibt es mindestens ein $\begin{eqnarray} x_0\in[a,b] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x_0)=0 \end{eqnarray}$ und damit hat f mindesttens eine Nullstelle Lg kgV
06.04.2014, 10:13	twee	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank
06.04.2014, 10:24	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen
06.04.2014, 10:26	twee	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kann man eig Zwischenwertsatz und Nullstellensatz kombinieren? Könntest du es anhand eines Beispiels beides einbringen?
06.04.2014, 10:33	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Die kann man nicht kombinieren, weil der Nullstellensatz ein Spezialfall des Zwischenwertsatzes ist. Ein Beispiel kann ich aber gerne machen: $\begin{eqnarray} f:[0,2]\to\mathbb R,x\mapsto x^2-1 \end{eqnarray}$ Hier gilt wegen $\begin{eqnarray} f(0)=-1<0<3=f(2) \end{eqnarray}$ nach dem Nullstellensatz, dass es eine Nullstelle gibt. Nach dem Zwischenwertsatz gilt hier noch ein wenig mehr: Jedes $\begin{eqnarray} x\in[-1=f(0),f(2)=3] \end{eqnarray}$ , also die null und noch viele weitere, z.B. $\begin{eqnarray} 2.7172 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 1.4 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ hat ein Urbild Wie du siehst: auch der Zwischenwertsatz liefert dir hier, dass f mindestens eine Nullstelle hat, aber er gibt dir sogar noch Information über andere Punkte, was der Nullstellensatz nicht tut. Das liegt daran, dass der Nullstellensatz eben nur noch auf Nullstellen zugeschnitten ist und nicht auf allgemeinere Werte. Dafür kann man sich aber andere Überlegungen sparen
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06.04.2014, 10:39	twee	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen vielen Dank. Hast du dir die Beispiele einfach selbst ausgedacht?
06.04.2014, 10:40	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, habe ich

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