Wie funktioniert der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen?

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05.04.2014, 20:07	twee	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie funktioniert der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen? Meine Frage: Ich verstehe nicht den Zwischenwertsatz und hab mich schon im Internet und Büchern darüber informiert. Nur leider ist es der Fall, dass es so kompliziert erklärt wird. Man versteht also gar nix. Könnte man anhand eines Beispiels erklären, wie der Zwischenwertsatz funktioniert? Wär echt lieb. Danke im voraus LG Meine Ideen: Ich weiß nur, dass zwischen zwei Werten (oder Intervall?) eine Zahl liegt. Irgendwas ist "c" und etwas anderes "d". Nur hab ich keine Ahnung wies gemeint ist.
05.04.2014, 20:31	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Zwischenwertsatz ist schnell erklärt: wenn du ein Intervall $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ hast, und die Funktion auf diesem Intervall stetig ist, dann wird jeder Wert, der zwischen $\begin{eqnarray} f(a) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(b) \end{eqnarray}$ liegt, mindestens einmal angenommen (es kann sein, dass auch andere Werte angenommen werden, aber das wissen wir nicht sicher - im Intervall $\begin{eqnarray} [f(a),f(b)] \end{eqnarray}$ oder umgekehrt $\begin{eqnarray} [f(b),f(a)] \end{eqnarray}$ wird aber jeder ohne Ausnahme mindestens einmal angenommen). Beispiel: $\begin{eqnarray} f:[a,b]\to\mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(a)=1,f(b)=15 \end{eqnarray}$ . Dann gibt es zu jedem $\begin{eqnarray} y\in[1,15] \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} x\in[a,b] \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} f(x)=y \end{eqnarray}$ erfüllt ist Lg kgV edit: PS: habe grade mal zwei deiner Themen in die Hochschulmathe geschoben
06.04.2014, 10:17	twee	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Könntest du mir ein näheres Beispiel geben, wie man genau auf den Zwischenwert kommt (tut mir leid, dass ich dich nerven sollte) ?
06.04.2014, 10:23	Dummy-Cool	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Zwischenwertsatz gibt dir nur die Existenz an, du weißt nur, dass jeder Wert zwischen f(a) und f(b) angenommen wird. Welcher jetzt genau ist, sagt er dir nicht und kann er auch nicht, denn der Satz gilt für jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall.
06.04.2014, 10:23	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Information liefert der Zwischenwertsatz leider nicht... Er garantiert lediglich für ein Urbild für jedes y aus dem Intervall von $\begin{eqnarray} f(a) \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} f(b) \end{eqnarray}$ oder umgekehrt. Ein Beispiel: $\begin{eqnarray} f:[0,2]\to\mathbb R,x\mapsto x^2+x+3 \end{eqnarray}$ Dann hat jedes $\begin{eqnarray} y\in[f(0)=3,f(2)=9] \end{eqnarray}$ ein Urbild, also auch $\begin{eqnarray} y=8 \end{eqnarray}$ Um es zu berechnen, musst du die Gleichung $\begin{eqnarray} x^2+x+3=8 \end{eqnarray}$ lösen, wie man es bei "normalen" Berechnungen auch macht - nur weißt du hier, dem Zwischenwertsatz sei Dank, schon im Voraus, dass du ein Ergebnis bekommst
06.04.2014, 10:25	twee	Auf diesen Beitrag antworten »
Aso jetzt habe ich es verstanden. Danke sehr
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06.04.2014, 10:34	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Freut mich Gerne doch
07.04.2014, 20:31	twee	Auf diesen Beitrag antworten »
wie ist es dazu gekommen das y=8 ist? hast du irgendein wert im intervall genommen?
07.04.2014, 20:42	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, y=8 habe ich willkürlich gewählt Ich hätte genausogut y=4 oder y=5.5 nehmen können
07.04.2014, 20:59	twee	Auf diesen Beitrag antworten »
also ist y = 8 (oder andere Zahlen) c?
07.04.2014, 21:04	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, man kann da verallgemeinernd c hinschreiben: jedes $\begin{eqnarray} c\in[0,9] \end{eqnarray}$ hat ein Urbild $\begin{eqnarray} d\in[0,2] \end{eqnarray}$
07.04.2014, 21:20	twee	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke
07.04.2014, 21:21	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Immer wieder gerne
09.04.2014, 17:34	twee	Auf diesen Beitrag antworten »
was heißt genau kompaktes Intervall?
09.04.2014, 17:43	twee	Auf diesen Beitrag antworten »
und was bedeutet Intervallschachtelung?
09.04.2014, 20:09	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Intervall ist genau dann kompakt, wenn es abgeschlossen ist (das ist dann ein Spezialfall einer kompakten Menge) Und eine Intervallschachtelung ist ein beweistechnisches Verfahren, bei dem ineinander verschachtelte Intervalle nach einem bestimmten Prinzip gewählt werden. Ziel dabei sit es, diese auf eine zahl zu komprimieren: Wikipedia weiß wie immer mehr

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