Winkel zwischen zwei Ebenen

06.04.2014, 11:00

decsis

Winkel zwischen zwei Ebenen

Ich versuche vergebens, die Koordinatengleichungen der Ebenen zu finden, welche die z-Achse enthalten und mit der Ebene $\begin{eqnarray*} \Sigma : 2x -y -z\sqrt{5} = 0 \end{eqnarray*}$ einen Winkel von 60° einschliessen.

Sehr wahrscheinlich dürfte dabei die Normalenprojektion zum Einsatz kommen: $\begin{eqnarray*} \cos{\beta} = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos{60°} = \frac{\begin{pmatrix}2\\-1\\-\sqrt{5}\end{pmatrix} \cdot \vec{n_2}}{\sqrt{10} \cdot |\vec{n_2}|} \end{eqnarray*}$

Allerdings habe ich irgendwie das Gefühl, dass ich damit nicht zum Ziel kommen kann, denn selbst wenn ich die x y und z Koordinaten, also den Normalenvektor rausfinde, fehlt mir ja immer noch die Variable d des Normalenvektors. Ausserdem muss irendwo ja wohl auch die z-Achse reinspielen, wenn diese schon gegeben ist.

Wie muss ich bei dieser Aufgabe vorgehen?

06.04.2014, 13:23

riwe

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RE: Winkel zwischen zwei Ebenen
was folgt denn für die Komponenten des Normalenvektors der Ebene aus der Tatsache, dass sie die z-achse enthält verwirrt

06.04.2014, 13:44

decsis

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RE: Winkel zwischen zwei Ebenen

Zitat:

Original von riwe
was folgt denn für die Komponenten des Normalenvektors der Ebene aus der Tatsache, dass sie die z-achse enthält verwirrt

Ich komme nicht darauf unglücklich

06.04.2014, 15:22

riwe

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RE: Winkel zwischen zwei Ebenen
denke an das skalarprodukt Augenzwinkern

06.04.2014, 16:44

decsis

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RE: Winkel zwischen zwei Ebenen

Zitat:

Original von riwe
denke an das skalarprodukt Augenzwinkern

Nein, auch mit dem Skalarprodukt sehe ich keinen Zusammenhang. unglücklich

Ich kenne lediglich die Komponenten des Normalenvektors aus der Koordinatengleichung der Ebene.

08.04.2014, 14:54

decsis

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Ich schaffe es einfach nicht...ich weiss mittlerweile, dass daraus folgt, dass die z Komponente des Normalenvektors 0 ist, aber ansonsten verstehe ich nach wie vor nicht im Ansatz, wie ich die Aufgabe lösen kann.

08.04.2014, 15:26

Leopold

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In der Koordinatengleichung einer Ebene, die parallel zur $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Achse ist, fehlt das $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Glied:

$\begin{eqnarray*} ax + by = d \end{eqnarray*}$

Wenn die Ebene sogar die $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Achse enthalten soll, muß sie auch den Ursprung enthalten:

$\begin{eqnarray*} ax + by = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn du den Normalenvektor normierst, darfst du sogar noch

$\begin{eqnarray*} \text{(1)} \ \ a^2 + b^2 = 1 \end{eqnarray*}$

voraussetzen. Schließlich führt die Geschichte mit dem 60°-Winkel auf:

$\begin{eqnarray*} \text{(2)} \ \ \frac{\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ - \sqrt{5} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ 0 \end{pmatrix}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} \text{(2)} \end{eqnarray*}$ ist linear. Löse nach einer der Variablen auf und setze in $\begin{eqnarray*} \text{(1)} \end{eqnarray*}$ ein.

Wenn du $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ gefunden hast, darfst du den Normalenvektor nachträglich mit einem Skalar multiplizieren, so daß du "schöne Zahlen" erhältst.
Es gibt zwei Lösungsebenen.

08.04.2014, 16:20

riwe

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Leopold, der Barmherzige Augenzwinkern

08.04.2014, 22:04

decsis

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Zitat:

Original von Leopold
Wenn du den Normalenvektor normierst, darfst du sogar noch

$\begin{eqnarray*} \text{(1)} \ \ a^2 + b^2 = 1 \end{eqnarray*}$

voraussetzen.

Vielen dank, das hat sehr geholfen! Lediglich dieser Schritt verstehe ich nicht.

Soweit ich weiss, bedeutet normieren eines Vektors, dass man seine Länge auf 1 setzt, indem man durch den Betrag des Vektors dividiert:

$\begin{eqnarray*} \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{\begin{pmatrix}a\\b\\0\end{pmatrix}}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{eqnarray*}$
Wie komme ich nun aber zu
$\begin{eqnarray*} a^2+b^2=1 \end{eqnarray*}$ ?

08.04.2014, 22:35

riwe

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weil man einen vektor auch normieren kann, was hier der Fall ist, um einfacher rechnen zu können

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