Elastizitätsfunktion

06.04.2014, 14:06

DarkEagle

Elastizitätsfunktion

Hallo Zusammen

Man ermittle die Elastizitätsfunktion Ef,x zu folgenden Funktionen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{2x}* \sqrt{x^{2} +4 } \end{eqnarray*}$

Lösung:

$\begin{eqnarray*} Ef,x=\frac{2x^{3} + x^{2} +8x }{x^{2} + 4} \end{eqnarray*}$

Mein Versuch:

$\begin{eqnarray*} f(x)= e^{2x} * \sqrt{x^{2} + 4} \\ \\ Produkteregel: \\ u= e^{2x} \\ u'= 2e^{2x} \\ v=\sqrt{x^{2} + 4} \\ v'=\frac{1}{2}*((x^{2} +4 )^{\frac{-1}{2} } \\ \\ f'(x)= (2e^{2x}*\sqrt{x^{2} + 4}) + (e^{2x}*\frac{1}{2}*(x^{2} +4 )^{\frac{-1}{2} }) \\ \\ f'(x)=2e^{2x}\sqrt{x^{2} + 4}+\frac{e^{2x}}{2\sqrt{(x^{2} +4 )} } \end{eqnarray*}$

Bin ich auf dem richtigen Weg? Ich habe das Gefühl das ich so weit entfernt bin von der Lösung...

06.04.2014, 14:24

Bonheur

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Zitat:

Original von Darkeagle
Lösung:

$\begin{eqnarray*} Ef,x=\frac{2x^{3} + x^{2} +8x }{x^{2} + 4} \end{eqnarray*}$

Könntest du nochmal nachsehen, ob das wirklich die Lösung ist und nicht:

$\begin{eqnarray*} Ef,x=\frac{2x^{2} + x +8 }{x^{2} + 4} \end{eqnarray*}$

Nun denn:

Du hast den zweiten Term nicht richtig abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} v(x)=\sqrt{x^{2}+4} \end{eqnarray*}$

Hier muss du die Kettenregel anwenden.

06.04.2014, 14:51

DarkEagle

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Habe ein Foto von der Lösung gemacht und die Datei hochgeladen. Es ist die Lösung D.

Grundsätzlich ist es ja:

$\begin{eqnarray*} \frac{x'}{x} * x \end{eqnarray*}$

Vielleicht ist in deiner Lösung das *x vergessen gegangen...?

Kettenregel? hmm...:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * (\sqrt{x^{2} +4}) * 2x \\ = \frac{2x}{(2\sqrt{x^{2} +4})} \\ = \frac{x}{(\sqrt{x^{2} +4})} \end{eqnarray*}$

Ehrlich gesagt habe ich nicht von Anfang an gesehen, dass hier die Kettenregel angwendet werden muss.

Demnach müsste ich nur noch diese Funktion kürzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{(2e^{2x}*\sqrt{x^{2} +4}) + (\sqrt{x^{2} +4} * \frac{x}{(\sqrt{x^{2} +4})})}{e^{2x} * \sqrt{x^{2} +4} } * x \end{eqnarray*}$

richtig?

06.04.2014, 15:04

Bonheur

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Die Ableitung stimmt nun.

Allerdings hast du die Produktregel falsch angewandt.

Zitat:

Original von Darkeagle
$\begin{eqnarray*} \frac{(2e^{2x}*\sqrt{x^{2} +4}) + (\textcolor{red}{\sqrt{x^{2} +4}} * \frac{x}{(\sqrt{x^{2} +4})})}{e^{2x} * \sqrt{x^{2} +4} } * x \end{eqnarray*}$

Es gilt für die Produktregel:
$\begin{eqnarray*} y'=u' \cdot v + v' \cdot u \end{eqnarray*}$

Du hast allerdings geschrieben:

$\begin{eqnarray*} y'=u' \cdot v + v' \cdot \textcolor{red}{v} \end{eqnarray*}$

06.04.2014, 15:31

DarkEagle

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Besten Dank!

$\begin{eqnarray*} \frac{(2e^{2x}*\sqrt{x^{2} +4}) + (e^{2x} * \frac{x}{(\sqrt{x^{2} +4})})}{e^{2x} * \sqrt{x^{2} +4} } * x \end{eqnarray*}$

So müsste es nun stimmen...

Jetzt kürzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{2x}(2*\sqrt{x^{2} +4}) + ( \frac{x}{(\sqrt{x^{2} +4})})}{e^{2x} * \sqrt{x^{2} +4} } * x \\ \\ \frac{(2*\sqrt{x^{2} +4}) + ( \frac{x}{(\sqrt{x^{2} +4})})}{ \sqrt{x^{2} +4} } * x \\ \\ \frac{(2) + ( \frac{x}{(\sqrt{x^{2} +4})})}{1} * x \end{eqnarray*}$

Ich bin etwas unsicher... Differenzen und Summen darf man ja nicht kürzen. Mit ausklammern darf man ja kürzen. Ist das so richtig gekürzt?

06.04.2014, 15:46

Bonheur

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Da sind einige Fehler.

Machen wir das lieber Schritt für Schritt. smile

$\begin{eqnarray*} y'=\left(2 \cdot e^{2x} \cdot \sqrt{x^{2}+4}\right)+\left( e^{2x} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}\right) \end{eqnarray*}$

Zuerst würde ich beide Summanden zusammenfassen. Weißt du wie das geht ?

06.04.2014, 16:23

DarkEagle

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Nein leider nicht. Wenn ich den Term so anschaue kommt mir nur das "Ausklammern" in denn Sinn.

Hm... Summaneden zusammenfassen... wenn ich es versuchen müsste, dann würde ich das so machen:

$\begin{eqnarray*} e^{2x}*(2\sqrt{x^{2} +4} + \frac{x}{\sqrt{x^{2} +4} } ) \end{eqnarray*}$

etwa so?

06.04.2014, 16:31

Bonheur

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Das wäre der zweite Schritt gewesen:

Ich hatte an folgendes gedacht:

$\begin{eqnarray*} y'=\left(2 \cdot e^{2x} \cdot \sqrt{x^{2}+4}\right)+\left( \frac{ x \cdot e^{2x}}{\sqrt{x^{2}+4}}\right) \end{eqnarray*}$

Nun beide Summanden zusammenfassen. Allerdings muss du zuerst den gemeinsamen Nenner finden: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2}+4} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \left(\frac{2 \cdot e^{2x} \cdot \sqrt{x^{2}+4} \cdot \sqrt{x^{2}+4}}{\sqrt{x^{2}+4}}\right)+\left( \frac{ x \cdot e^{2x}}{\sqrt{x^{2}+4}}\right) \end{eqnarray*}$

Hier wurde der Zähler und der Nenner mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2}+4} \end{eqnarray*}$ multipliziert, damit wir beide Summanden zusammenfassen können.

Nun kannst du den Zähler zusammenfassen und dann e^{2x} ausklammern

06.04.2014, 17:06

DarkEagle

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Aha... ich sehe!

Wobei wir dann bei diesem Term wären:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{2x}*(2\sqrt{x^{2} +4} *\sqrt{x^{2} +4} + x}{\sqrt{x^{2} +4} } \end{eqnarray*}$

dann noch $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2} +4} \end{eqnarray*}$ ausklammern:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{2x}*\sqrt{x^{2} +4}* (2+ x)}{\sqrt{x^{2} +4} } \end{eqnarray*}$

Ergebnis:
e^2x(2+x) ...

verwirrt

06.04.2014, 17:15

Bonheur

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Zitat:

Original von Darkeagle
Wobei wir dann bei diesem Term wären:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{2x}*(2\sqrt{x^{2} +4} *\sqrt{x^{2} +4} + x}{\sqrt{x^{2} +4} } \end{eqnarray*}$

dann noch $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2} +4} \end{eqnarray*}$ ausklammern:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{2x}*\sqrt{x^{2} +4}* (2+ x)}{\sqrt{x^{2} +4} } \end{eqnarray*}$

Du weißt sicherlich, dass z.B $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \cdot \sqrt{x}=x \end{eqnarray*}$ macht und auf unsere Rechnung angewandt: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2}+4} \cdot \sqrt{x^{2}+4}=x^{2}+4 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Zitat:

Original von Bonheur
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \left(\frac{2 \cdot e^{2x} \cdot \sqrt{x^{2}+4} \cdot \sqrt{x^{2}+4}}{\sqrt{x^{2}+4}}\right)+\left( \frac{ x \cdot e^{2x}}{\sqrt{x^{2}+4}}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \left(\frac{2 \cdot e^{2x} \cdot (x^{2}+4)}{\sqrt{x^{2}+4}}\right)+\left( \frac{ x \cdot e^{2x}}{\sqrt{x^{2}+4}}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{2 \cdot e^{2x} \cdot (x^{2}+4)+x \cdot e^{2x}}{\sqrt{x^{2}+4}} \end{eqnarray*}$

Nun klammere e^{2x} aus. Augenzwinkern

06.04.2014, 18:02

DarkEagle

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Nein das wusste ich gar nicht :-/
Sehr wahrscheinlich habe ich das vergessen... werde mir das merken!

Okay:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{2x}(2*(x^{2}+4) + x) }{\sqrt{x^{2}+4} } \\ \frac{e^{2x}(2x^{2}+8 + x) }{\sqrt{x^{2}+4} } \end{eqnarray*}$

wie bringe ich das e^2x weg...? durch wurzel ziehen?

06.04.2014, 18:08

Bonheur

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Wenn du die Wurzel ziehst, dann musst vom ganzem Term die Wurzel ziehen und wenn du Wurzel von $\begin{eqnarray*} \sqrt{e^{2x}}=e^{x} \end{eqnarray*}$ , welches uns allerdings nicht soviel bringt.

Tipp:

Bestimme nun mit der Ableitungsfunktion die Elastizitätsfunktion, dann solltest du sehen, wie man e^{2x} wegbekommt. smile

06.04.2014, 19:00

DarkEagle

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Hm...

Danke für den Tipp aber...ich komm nicht darauf... muss ich die ganze Funktion nochmals ableiten?

Kannst du mir noch einen Tipp geben?

Nun hätten wir ja:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{2x}(2x^{2}+8+ 2x) }{\sqrt{x^{2}+4} } * x \\ \frac{e^{2x}(2x^{3}+8x+ 2x^{2} ) }{\sqrt{x^{2}+4} } \end{eqnarray*}$

06.04.2014, 19:06

Bonheur

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Damit wir den Überblick behalten, fasse ich kurz zusammenfassen, welches wir gemacht haben.

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{2x} \cdot \sqrt{x^{2} +4 } \end{eqnarray*}$

Das war unsere Ursprungsfunktion. Und wir sollten zu dieser Funktion, die Elastizitätsfunktion bestimmen.

Dafür brauchen wir die Ableitung, die wir uns hart erkämpft haben. Big Laugh

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{e^{2x}(2x^{2}+8 + x) }{\sqrt{x^{2}+4} } \end{eqnarray*}$

Die Elastizitätsfunktion ergibt sich nun aus:

$\begin{eqnarray*} E(x)=\left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right) \cdot x \end{eqnarray*}$

Nun setze die entsprechenden Teile ein. smile

06.04.2014, 19:27

DarkEagle

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Stimmt!
Ich hatte den Überblick verloren!

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{2x}(2x^{3}+8x+ 2x^{2} ) }{\sqrt{x^{2}+4} } * \frac{1}{e^{2x}*\sqrt{x^{2}+4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ lässt sich kürzen, und $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2}+4} * \sqrt{x^{2}+4} = x^{2}+4 \end{eqnarray*}$

somit...

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^{3}+8x+ 2x^{2} }{x^{2}+4 } \end{eqnarray*}$

Endlich!

Bonheur... Danke für deine Geduld und für deine Hilfe ! Es gibt noch 2 weitere Aufgaben aber nun habe ich genug. Sollte auch noch die anderen Fächern lernen!

Thanks!

06.04.2014, 19:28

Bonheur

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Gern Geschehen. smile

Viel Spaß noch Wink

07.04.2014, 12:54

DarkEagle

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Ich bins wieder =)

Eine weitere Aufgabe bei der ich stehen geblieben bin.

Aufgabe

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2}*ln(x^{4}+1) \end{eqnarray*}$

Lösung

$\begin{eqnarray*} E f,x= 2 + \frac{4x^{4}}{(x^{4}+1)ln(x^{4}+1)} \end{eqnarray*}$

Meine Berechnung:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2}*ln(x^{4}+1) \end{eqnarray*}$

Hier wende ich die Produktenregel an. Zuerst leite ich ln(x^4+1) ab.

$\begin{eqnarray*} \frac{4x^{3} }{x^{4} +1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E f,x=\frac{(2x*ln(x^{4}+1))+(x^{2} * \frac{4x^{3}}{x^{4} +1} )}{x^{2}*ln(x^{4}+1)} * x \\ E f,x=\frac{(2x^{2}*ln(x^{4}+1))+(\frac{4x^{6}}{x^{4} +1} )}{x^{2}*ln(x^{4}+1)} \\ E f,x=\frac{(2*ln(x^{4}+1)+(\frac{4x^{4})}{x^{4} +1} )}{ln(x^{4}+1)} \\ E f,x=\frac{2*(ln(x^{4}+1)*(x^{4}+1))+(4x^{4})}{ln(x^{4}+1)} \\ E f,x=\frac{2*(ln(x^{4}+1)*(x^{4}+1))+(4x^{4})}{ln(x^{4}+1)} \\ E f,x={2*(x^{4}+1)+(4x^{4})} \end{eqnarray*}$

Weit gefehlt :-/

Wo liegt mein Fehler?

Habe ich zuviel gekürzt?

07.04.2014, 13:21

Bonheur

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Alles stimmt.

Bis zum vierten Ef,x.

Damit du es besser siehst, schreibe ich es genau auf.

$\begin{eqnarray*} Ef,x=\frac{\left(2 \cdot ln(x^{4}+1)\right) +\left(\frac{4x^{4}}{x^{4}+1}\right)}{ln(x^{4}+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow Ef,x=\frac{2 \cdot ln(x^{4}+1)}{ln(x^{4}+1)} + \frac{\frac{4x^{4}}{x^{4}+1}}{{ln(x^{4}+1)}} \end{eqnarray*}$

Wie würdest du weiter fortfahren ?

@
Bin so um 15-16 Uhr wieder da.

07.04.2014, 16:15

DarkEagle

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aha, somit das Prinzip:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{16} + \frac{4}{16} = \frac{2+4}{16} \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow Ef,x=\frac{2 \cdot ln(x^{4}+1)}{ln(x^{4}+1)} + \frac{\frac{4x^{4}}{x^{4}+1}}{{ln(x^{4}+1)}} \end{eqnarray*}$

Hier würde ich so verfahren:

$\begin{eqnarray*} Ef,x=\frac{2 \cdot ln(x^{4}+1)}{ln(x^{4}+1)} + \frac{\frac{4x^{4}}{x^{4}+1)}}{{ln(x^{4}+1)}} \\ Ef,x= 2 + \frac{\frac{4x^{4}}{x^{4}+1} }{ln(x^{4}+1} \\ Ef,x= 2 + \frac{4x^{3}}{ln(x^{4}+1)*(x^{4}+1)} \end{eqnarray*}$

Super... Danke =)

Die letzte Aufgabe...

$\begin{eqnarray*} f(x)=7x^{3x} \end{eqnarray*}$

Liege ich richtig mit der Annahme, hier die Kettenregel anzuwenden?

07.04.2014, 17:31

Bonheur

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Wenn du Anstatt 4x^{3} noch 4x^{4} hinschreibst, ist alles richtig. Freude

Die Annahme stimmt.

Du musst die Kettenregel anwenden.

Hast du dazu eine Idee ?

08.04.2014, 11:10

DarkEagle

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Jawohl, meine Überlegung ist:

$\begin{eqnarray*} u=3x \Rightarrow u'=3 \\ v=7x \Rightarrow v'=7 \\ E f,x= 3 * (7x)^{3x-1} * 7 \\ E f,x= 147x^{3x-1} \\ \end{eqnarray*}$

Aber anscheinend ist das Falsch :-/
Dabei habe ich die Kettenregel angwendet...

Die Kettenregel ist ja:

$\begin{eqnarray*} u' * (v) * v' \end{eqnarray*}$

08.04.2014, 13:46

Bonheur

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Bei deiner Rechnung gehst du davon aus, dass die äußere Funktion $\begin{eqnarray*} v=7x \end{eqnarray*}$ sei.

Substituiere: $\begin{eqnarray*} u=3x-1 \end{eqnarray*}$

Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} f(x) =u(v(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f'(x)=u'(v(x)) \cdot v'(x) \end{eqnarray*}$

d.h dass du die Innere mit der Äußeren Ableitung multiplizieren musst.

10.04.2014, 12:55

DarkEagle

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Ich habe wieder mal bei den Lösungen gespickt...

$\begin{eqnarray*} E f,x=3x(ln(7x)+1) \end{eqnarray*}$

Hm... bei meiner Funktion gehe ich doch davon aus, dass (7x)^3x = f(x) gibt...
und v ist doch = 3x und u ist doch 7x... oder?

Ich habe mir das so gemerkt: Sobald die abzuleitende Variabel (in unserem Fall x) in der Potenz ist, wenden wir den Logarithmus an nach dem Prinzip 4^x = 16 oder 3^x = 9

Somit:

$\begin{eqnarray*} ln f(x)= 3x*ln(7x) \Rightarrow Hier die Produktenregel \\ ln f(x)= 3*ln(7x) + 3x*\frac{1}{x} \Rightarrow x\neq 0 \\ ln f(x)= 3 ln(7x)+3 \\ E f,x= \frac{3ln(7x)+3}{7x^{3x} } *x \\ \\ E f,x= \frac{3xln(7x)+3x}{7x^{3x} } \\ \end{eqnarray*}$
verwirrt

Kann ich das überhaupt so kürzen?

10.04.2014, 17:42

Bonheur

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Zitat:

Original von DarkEagle
Ich habe wieder mal bei den Lösungen gespickt...

$\begin{eqnarray*} E f,x=3x(ln(7x)+1) \end{eqnarray*}$

Steht das wirklich in den Lösungen ?

Zitat:

Original von DarkEagle
Ich habe mir das so gemerkt: Sobald die abzuleitende Variabel (in unserem Fall x) in der Potenz ist, wenden wir den Logarithmus an nach dem Prinzip 4^x = 16 oder 3^x = 9

Meinst du vielleicht im Exponenten ?
Du benötigst die Umkehrfunktion von der e-Funktion, um solche Funktionen abzuleiten.

Zitat:

Original von DarkEagle
Hm... bei meiner Funktion gehe ich doch davon aus, dass (7x)^3x = f(x) gibt...
und v ist doch = 3x und u ist doch 7x... oder?

Nein.

Substituiere doch $\begin{eqnarray*} u=3x \end{eqnarray*}$

Was folgt dann ?

11.04.2014, 08:45

DarkEagle

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Guten Morgen =)

Ich weiss nicht genau was substituieren in der Mathematik heisst, da ich diese Methode nicht kenne...

Wenn du das hier meinst (http://www.serlo.org/math/wiki/article/view/substitution) dann ist mir das wirklich ganz neu smile

so was haben wir nie gelernt in der Schule.

Wenn ich es einfach so ersetzen müsste, würde ich es mit Z ersetzen. Also
u = z ... hm.. verwirrt

Gibt es keinen anderen Weg? Ich habe die Lösung hochgeladen.

Nein ich meinte die Potenz. Hier ist ja die Potenz 3x zu Basis 7x.

11.04.2014, 15:53

Bonheur

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Lieber Darkeagle.

Du musst schon aufschreiben, welche Funktion du genau meinst, denn:

Zitat:

Original von Darkeagle
Die letzte Aufgabe...

$\begin{eqnarray*} f(x)=7x^{3x} \end{eqnarray*}$

Liege ich richtig mit der Annahme, hier die Kettenregel anzuwenden?

Ist nicht das gleiche, wie $\begin{eqnarray*} f(x)=(7x)^{3x} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Darkeagle
Nein ich meinte die Potenz. Hier ist ja die Potenz 3x zu Basis 7x.

Die Potenz ist: $\begin{eqnarray*} (7x)^{3x} \end{eqnarray*}$

Der Exponent: $\begin{eqnarray*} 3x \end{eqnarray*}$

Die Basis: $\begin{eqnarray*} 7x \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Darkeagle
Gibt es keinen anderen Weg?

Natürlich.

Wie kann man denn diesen Ausdruck umschreiben ?

$\begin{eqnarray*} f(x)=(7x)^{3x} \end{eqnarray*}$

Tipp:

Man kann z.B

$\begin{eqnarray*} 2^{x}=e^{ln(2) \cdot x} \end{eqnarray*}$

11.04.2014, 16:42

DarkEagle

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Entschuldige Bonheur... du hast recht, es ist nicht das gleiche... :-/

Alles klar, habe das mit der Potenz jetzt verstanden... Basis... und Exponent...

Zur Umschreibung:

$\begin{eqnarray*} 7x^{3x}= e^{ln(7x)*3x} \end{eqnarray*}$

ist das richtig so?

11.04.2014, 16:45

Bonheur

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Richtig.

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{ln(7x) \cdot 3x} \end{eqnarray*}$

Nun leite es ab. smile

Kettenregel.

16.04.2014, 15:22

DarkEagle

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Endlich wieder Zeit für Mathe =)

Also...

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 7*3*e^{ln(7x)*3x} \\ f'(x)= 21e^{ln(7x)*3x} \end{eqnarray*}$

e und ln lösen sich doch auf...? da e^{ln}=x

somit...

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 21^{(7x)*3x} \end{eqnarray*}$

und wieder habe ich das Gefühl dass das in eine falsche Richtung geht... verwirrt

16.04.2014, 15:28

Bonheur

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Hi !

Das stimmt nicht.

Du musst:

$\begin{eqnarray*} v=ln(7x) \cdot 3x~~~~~~ \text{und}~~~~~~~u=e^{\textcolor{red}{z}} \end{eqnarray*}$ ableiten.

Wenn du das gemacht hast, musst du $\begin{eqnarray*} f'(x)=v' \cdot u' \end{eqnarray*}$ .

Übrigens das rot-markierte z, stammt von der Substitution. Du ersetzt quasi $\begin{eqnarray*} ln(7x) \cdot 3x \end{eqnarray*}$ mit z: $\begin{eqnarray*} z=ln(7x) \cdot 3x \end{eqnarray*}$ .

18.04.2014, 17:23

DarkEagle

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Ich habe eine gute Nachricht. =)

Wir haben unseren Dozenten um Hilfe gebeten bei dieser Aufgabe! Wir können diese Aufgabe getrost vergessen hat er gesagt, diese Aufgabe wird nicht an der Prüfung kommen.

Er hat uns andere Aufgaben ans Herz gelegt.

Danke für deine Hilfe und für deine Geduld Bonheur! Bin echt froh dieses Forum gefunden zu haben... Da ich unter Zeitdruck stehe und keine weiteren Themen eröffnen möchte, schlage ich vor, dass ich hier die anderen Aufgaben, dich mich zurzeit beschäftigen, poste.

Aufgabe

Gegeben sind folgende Nachfragefunktionen:

1. $\begin{eqnarray*} x(p) = 20-4p ; 0\leq p \leq 5 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} p(x) = 20-0.2x ; 0\leq x \leq 100 \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} x(p) = 5 * e^{-0.1p} ; p \geq 0 \end{eqnarray*}$

4. $\begin{eqnarray*} p(x) = 500 * e^{-0.005x} ; x \geq 0 \end{eqnarray*}$

A] Man ermittle und intepretiere die Preiselastizität der Nachfrager bei einem Preis p:

1. 3 GE/ME
2. 11 GE/ME
3. 120 GE/ME
4. 900 GE/ME

B] Bei welchem Preis bewirkt eine Preissenkung von 10% eine Nachfragesteigerung von ca. 15% ?

C] Bei welcher Nachfragemenge liegt einer 5%igen Mengenreduktion eine 5%ige Preissteigerung zugrunde?
_____________________________________________________________________

Meine Überlegung:

Zunächst leite ich doch mal alle Elastizitätsfunktionen ab:

1. $\begin{eqnarray*} x(p) = 20-4p \Rightarrow E_{f/p} = \frac{-4p}{20-4p} = -1.5 \end{eqnarray*}$

2. Bereits hier habe ich Probleme. Die Lösung ist:
$\begin{eqnarray*} \color{green}x(p) = 100 - 5p \Rightarrow \frac{-5p}{100 - 5p} = -0.179; -1.222 (p = 120, p = 900 \notin \mathbb D \end{eqnarray*}$

Nun, ich weiss nicht, wie ich von p(x) auf x(p) komme verwirrt

3. $\begin{eqnarray*} x(p) = 5 * e^{-0.1p} \Rightarrow E_{f/x} \frac{-0.5p}{5} = -0.1p \end{eqnarray*}$

4. Wieder das gleiche Problem wie bei Nr. 2

Meine Frage: Wie wandle ich es um? Nach "p" kann ich es nicht auflösen weil mir ja die Variable im Term fehlt... verwirrt

18.04.2014, 20:27

Bonheur

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Es ist immer besser bei neuen Aufgabenstellungen ein neuen Thread zu erstellen, damit mehr Helfer sich deinem Problem widmen können.

Da es nur eine kurze Frage ist, helfe ich dir. smile

Zitat:

Original von Darkeagle
Meine Frage: Wie wandle ich es um? Nach "p" kann ich es nicht auflösen weil mir ja die Variable im Term fehlt...

$\begin{eqnarray*} p(x) = 20-0.2x ; 0\leq x \leq 100 \end{eqnarray*}$

Wieso möchtest du es denn nach p umstellen ?

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} p=20-0,2x \end{eqnarray*}$

Weil p abhängig von x ist. Deshalb schreibt man auch p(x).

19.04.2014, 22:02

DarkEagle

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Thanks! =)

Somit...

$\begin{eqnarray*} p = 20 - 0.2x\qquad // +0.2x; -p \\ 0.2x= 20 - p\qquad // : 0.2 \\ x = 100 - 5p \\ x(p) = 100 - 5p \end{eqnarray*}$

Ich möchte nach P umstellen damit alles einheitlich ist... Ich denke dass ist eine gute Idee... oder..?

19.04.2014, 23:24

Bonheur

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Ich würde es bei x(p) beibelassen, weil p den Preis repräsentiert.

Oder meintest du das ?

05.06.2014, 16:48

DarkEagle

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So I am back for math =)

Du hast recht, am besten ich belasse es bei x(p), da es auch in der Theorie so empfohlen wird für die Elastizität.

A.1.) -1.5

2.) p(x) = 20 - 0.2x => x(p) = 100-5p = -0.176 / -1.222

3.) -0.3 / -1.1 / -12 / -90

4.) $\begin{eqnarray*} x(p) = -200 * ln(\frac{p}{500} ) \\ E f,p = \frac{1}{ln (\frac{p}{500} )} \end{eqnarray*}$ = -0.195 / - 0.262 / -0.701 / 1.701

Nun B)
Bei welchem Preis bewirkt eine Preissenkung von 10% eine Nachfragesteigerung von ca. 15% ?

Was ich bei dieser Aufgabe nicht so ganz verstehe:
wenn P um 10% sinkt, steigt die Nachfrage um 15%, gemäss Aufgabe. Die Veränderung der Nachfrage wird ja mit E f,p ausgedrückt.

P = + 10%
E f,p = - 15%

Gemäss Lösung:
$\begin{eqnarray*} \color{green} E f,p = -1.5 \end{eqnarray*}$

"P=" kann ich dann berechnen. Ich möchte nur verstehen, weshalb E f,p = -1.5

Meine Idee:
(15/100) * 10 = 1.5 * -1 = -1.5

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Elastizitätsfunktion

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