Darstellungstheorie von Gruppen: trivialer Charakter

06.04.2014, 13:10	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellungstheorie von Gruppen: trivialer Charakter Hallo zusammen, erstmal: ich hoffe der Thread steht hier richtig. Sonst darf er auch gerne nach Sonstiges verschoben werden. Und zwar geht es um die Darstellungstheorie von Gruppen. Und um mal langsam anzufangen um die triviale Darstellung. Es ist V ein K-Vektorraum. In meinem Beispiel gilt: Sei V=K. Dann gilt anscheinend, dass $\begin{eqnarray} GL(K)=K^\times \end{eqnarray}$ ist, also eine Darstellung von G auf V=K nicht anderes als ein Gruppenhomomorphismus von G nach $\begin{eqnarray} K^\times \end{eqnarray}$ ist. Ich verstehe hier nicht, warum $\begin{eqnarray} GL(K)=K^\times \end{eqnarray}$ sein soll. Da die Elemente in GL(K) doch lineare bijektive Abbildungen von K nach K sind und die rechts "nur" Elemente aus dem Körper K... Wie können die dann gleich sein? Zum Hintergrund: allgemein gilt: Sei $\begin{eqnarray} \sigma:G \rightarrow GL(V) \text{ mit } g \mapsto \sigma_g \end{eqnarray}$ ein Gruppenhomomorphismus. Diesen nennen wir die Darstellung von G auf V. $\begin{eqnarray} \sigma_g \end{eqnarray}$ ist eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \sigma_g: V \rightarrow V \text{ mit } v \mapsto g.v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} GL(V):=\{\varphi \in Hom(V,V)\|\varphi \quad bijektiv\} \end{eqnarray}$ Hier das Beispiel, bei dem mein Problem auftritt: Sei V=K. Dann ist $\begin{eqnarray} GL(K)=K^\times \end{eqnarray}$ also K ohne 0. Wenn ich jetzt jedem Element die 1 in $\begin{eqnarray} K^\times \end{eqnarray}$ zuordne, erhalte ich die triviale Darstellung. Ich freu mich über Anmerkungen. lg Duude
06.04.2014, 14:23	experte	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Darstellungstheorie von Gruppen: trivialer Charakter hallo, habe ein bischen geforscht. Normalerweise beschreibt die lineare gruppe GL(n,K) die gruppe der invertierbaren n x n- matrizen mit elementen aus K. Setzt man n=1, so entarten die matrizen in einzelne elemente aus K, aber ohne die null, denn die sache muss ja nach wie vor invertierbar bleiben. Das dürfte ein teil deiner fragen beantworten. gruss ollie3
06.04.2014, 14:31	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm.. aber die $\begin{eqnarray} GL_n(K) \end{eqnarray}$ ist doch nicht dasselbe wie die GL(V) $\begin{eqnarray} GL(V):=\{\varphi \in Hom(V,V)\|\varphi \quad bijektiv\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} GL_n(K) \end{eqnarray}$ = Menge der n x n -Matrizen mit Einträgen aus K und det ungleich 0 Einmal habe ich da Matrizen drinstehen und einmal lineare bijektive Abbildungen. Ich habe da also ganz unterschiedliche Elemente drinstehen. Wie können die gleich sein?
06.04.2014, 15:38	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, ja, aber man kann jede bijektive lineare abbildung von 2 n-dim. vektorräumen durch eine invertierbare n x n-matrix beschreiben, von daher stimmt die sache dann wieder. gruss ollie3

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