Bezouts Theorem

06.04.2014, 20:12

KeinEinfall

Bezouts Theorem

Hoi,

Damits in die richtige Perspektive rückt: Ich studier kein Mathe also nicht all zu viel von mir Verlangen oder erwarten.

Ok. Also dann mal los mit einem Widerspruchsbeweis (Das sollte hier mit Bezouts Theorem zusammenhängen).
Sowet ich das weiter verstanden habe interessieren uns nur die positiven und negativen ganzen Zahlen.

Angenommen:

$\begin{eqnarray*} ax+by = d >1 \end{eqnarray*}$

wobei (a,b) = 1 ist, also der ggT von a und b ist 1.

Ziel in diesem Falle hier ist es zu zeigen, dass wir ein x und ein y finden, sodass a*x+b*y = 1 ist.

Da (a,b) = 1 ist bedeutet das, dass d a und b nicht gleichzeitig teilen kann.
Nehmen wir an d kann a nicht teilen, dann erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} a = d*q + r \end{eqnarray*}$

wobei 0 < r < d

$\begin{eqnarray*} a = d*q + r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r = a - d*q \end{eqnarray*}$

für d können wir ax+by einsetzen:

$\begin{eqnarray*} r = a-(a*x+b*y)*q \end{eqnarray*}$

So jetzt die frage: Bis hierhin verstehe ich alles. Aber jetzt kommt folgendes:

$\begin{eqnarray*} r = a-(a*x+b*y)*q \end{eqnarray*}$ wird umgeformt zu:

$\begin{eqnarray*} a*(1-x*q)+b(y*q) \end{eqnarray*}$

Ich habe keinerlei Ahnung, warum diese Umformung stimmt. Falls sie denn stimmt. Aber wenn sie stimmt würde daraus folgen, dass r = ax+by ist.

Und auch wenn ich den weiteren Verlauf nicht verstanden habe, soll man das Argument mit r = ax+by weiter führen, sodass man letztendlich ein x und y findet, sodass ax+by = 1 ist.

Danke für jede Hilfe! smile

07.04.2014, 07:35

HAL 9000

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RE: Bezouts Theorem

Zitat:

Original von KeinEinfall
$\begin{eqnarray*} r = a-(a*x+b*y)*q \end{eqnarray*}$ wird umgeformt zu:

$\begin{eqnarray*} a*(1-x*q)+b(y*q) \end{eqnarray*}$

Stimmt nicht, es ist allenfalls

$\begin{eqnarray*} a-(a*x+b*y)*q = a*(1-x*q) - b(y*q) \end{eqnarray*}$ .

Und dazu einfach mal "rückwärts" rechnen, das Distributivgesetz ("ausmultiplieren" in der einen Richtung, "ausklammern" in der anderen) sollte dir doch geläufig sein, wenn du hier im Hochschulforum postest, auch wenn du kein Mathe studierst:

$\begin{eqnarray*} a*(1-x*q) = a*1 - a*x*q = a-a*x*q \end{eqnarray*}$ ,

denn schließlich ist schlicht $\begin{eqnarray*} a*1 = a \end{eqnarray*}$ .

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