Gleichungen gleichsetzen und nach Variable auflösen

06.04.2014, 22:18	Morbz	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungen gleichsetzen und nach Variable auflösen Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe ein Problem. Diese beiden Gleichungen sollte man gleichsetzen und nach t* auflösen, leider gelingt mir dieses Auflösen überhaupt nicht. $\begin{eqnarray} z_{1}= v_{01}(t)-\frac{g}{2}(t)² \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_{2}= v_{02}((t)-\Delta t)-\frac{g}{2}((t)-\Delta t)² \end{eqnarray}$ Diese beiden Gleichungen sollen nun gleichgesetzt und nach $\begin{eqnarray} (t) \end{eqnarray}$ aufgelöst werden. Das fertige Ergebnis sollte so aussehen: $\begin{eqnarray} (t)= \frac{\Delta t (v_{02}+\frac{1}{2}g \Delta t)}{v_{02}-v_{01}+g\Delta t } \end{eqnarray}$ Leider kann ich dieses Auflösen überhaupt nicht nachvollziehen. Kann mir jemand erklären, wie man auf dieses Ergebnis kommt? Würde mich über Hilfe sehr freuen Gruß, Morbz Meine Ideen: Beim Auflösen komme ich wie gesagt nicht weiter. Das einzige, was mir aufgefallen ist, dass man $\begin{eqnarray} <br /> (t)-\Delta t)² \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} (t)²-2(t)\Delta t+\Delta t² \end{eqnarray*}$ umwandeln kann. Weiter komme ich leider nicht.
06.04.2014, 23:35	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungen gleichsetzten und nach Variable auflösen Kann es sein, dass hier $\begin{eqnarray} z_1=z_2 \end{eqnarray}$ gilt? Anders kommt man nicht auf das Ergebnis... Wenn ja, dann setz doch mal beide Gleichungen zusammen Danach kannst du die von dir angesprochene binomische Formel anwenden und im selben teil auch noch eine Klammer ausmultiplizieren. Danach muss alles, was dein t* enthält, auf eine Seite der Gleichung gebracht werden und alles andere auf die andere Seite. Wenn du das geschafft hast, bist du schon fast fertig Versuchs mal Lg kgV PS. ich schiebe das Thema mal in die Schulmathe - vom mathematischen Inhalt bewegen wir uns eher dort als hier
07.04.2014, 15:06	Morbz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo kgV, danke für deine Antwort. Ich habe jetzt mal probiert: (t* habe ich jetzt T genannt) $\begin{eqnarray} v_{01}T-\frac{g}{2}T²= v_{02}(T-\Delta t)-\frac{g}{2}(T²-2T\Delta t+\Delta t²) \end{eqnarray}$ Dann ausmultiplizieren: $\begin{eqnarray} v_{01}T-\frac{g}{2}T²= v_{02}T-v_{02}\Delta t-\frac{g}{2}T²-\frac{g}{2}2T\Delta t+\frac{g}{2}\Delta t² \end{eqnarray}$ Dann -(g/2)T² streichen, da auf beiden Seiten vorhanden: $\begin{eqnarray} v_{01}T = v_{02}T-v_{02}\Delta t-\frac{g}{2}2T\Delta t+\frac{g}{2}\Delta t² \end{eqnarray}$ Dann alles mit T auf eine Seite ziehen: $\begin{eqnarray} v_{01}T = v_{02}T-v_{02}\Delta t-\frac{g}{2}2T\Delta t+\frac{g}{2}\Delta t² \|-v_{02}T \|+\frac{g}{2}2T\Delta t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_{01}T-v_{02}T+\frac{g}{2}2T\Delta t =-v_{02}\Delta t+\frac{g}{2}\Delta t² \|:[v_{01}-v_{02}]\|:\Delta t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T-T+\frac{g}{2}2T =\frac{-v_{02}\Delta t+\frac{g}{2}\Delta t²}{v_{01}-v_{02}+\Delta t} \end{eqnarray}$ Dann bei (g/2)2T die 2 streichen und \|:g : $\begin{eqnarray} T-T+T =\frac{-v_{02}\Delta t+\frac{g}{2}\Delta t²}{v_{01}-v_{02}+\Delta t+g} \end{eqnarray}$ Dann auf der linken Seite die Ts zusammenfassen und auf der rechten Seite DeltaT² mit DeltaT kürzen $\begin{eqnarray} T =\frac{-v_{02}\Delta t+\frac{g}{2}\Delta t}{v_{01}-v_{02}+g} \end{eqnarray}$ Allerdings habe ich leider immer noch nicht das richtige Ergebnis Wo habe ich einen Fehler gemacht? Gruß, Morbz
07.04.2014, 20:22	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht doch schon gut aus Der Fehler steckt hier: $\begin{eqnarray} v_{01}T-v_{02}T+\frac{g}{2}2T\Delta t =-v_{02}\Delta t+\frac{g}{2}\Delta t² \|:[v_{01}-v_{02}]\|:\Delta t \end{eqnarray}$ Das kannst du so nicht machen. Du musst hier $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ ausklammern (oder herausheben, wie auch immer ihr das genannt habt ) und dann durch die Klammer dividieren, die dabei entsteht
07.04.2014, 20:52	Morbz	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort Also wäre es dann: $\begin{eqnarray} T(v_{01}-v_{02})+\frac{g}{2}2T\Delta t =-v_{02}\Delta t+\frac{g}{2}\Delta t² \|:[v_{01}-v_{02}]\|:\Delta t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T+\frac{g}{2}2T =\frac{-v_{02}\Delta t+\frac{g}{2}\Delta t²}{v_{01}-v_{02}+\Delta t} \end{eqnarray}$ Dann wieder bei (g/2)2T die 2 streichen; \|:g und \|:2 : und ich komme auf $\begin{eqnarray} T =\frac{-v_{02}\Delta t+\frac{g}{2}\Delta t}{2v_{01}-v_{02}+g} \end{eqnarray}$ Allerdings stimmt das doch wieder nicht mit dem Ergebnis überein, oder? Gruß, Morbz
07.04.2014, 21:02	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst das T auch aus dem dritten Summanden ( $\begin{eqnarray} \frac g22T \end{eqnarray}$ ) ausklammern und dann dividieren Und was ich erst jetzt sehe: deine Vorzeichen sind etwas durcheinander: beim ausmultiplizieren von $\begin{eqnarray} -\frac g2(T^2-2T\Delta t+\Delta t^2) \end{eqnarray}$ stimmen die Vorzeichen nicht, da muss am Ende $\begin{eqnarray} -\frac g2 T^2+\frac g22T\Delta t-\frac g2\Delta t^2 \end{eqnarray}$ stehen, sry, dass mir das nicht gleich aufgefallen ist Wir stehen also hier: $\begin{eqnarray} v_{01}T-\frac g2T^2=v_{02}T-v_{02}\Delta t -\frac g2 T^2+\frac g22T\Delta t-\frac g2\Delta t^2 \end{eqnarray}$ Von da aus müsstest du nochmal durchstarten und dann auch zum richtigen Ergebnis kommen
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07.04.2014, 22:47	Morbz	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort, kgV! Eigentlich würde ich wie bei der vorherigen Rechnung mit korrigierten Vorzeichen weitermachen Also -(g/2)T² streichen, da auf beiden Seiten vorhanden: $\begin{eqnarray} v_{01}T = v_{02}T-v_{02}\Delta t+\frac{g}{2}2T\Delta t-\frac{g}{2}\Delta t² \end{eqnarray}$ Dann alles mit T auf eine Seite ziehen: $\begin{eqnarray} v_{01}T = v_{02}T-v_{02}\Delta t+\frac{g}{2}2T\Delta t-\frac{g}{2}\Delta t² \|-v_{02}T \|-\frac{g}{2}2T\Delta t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T(v_{01}-v_{02}-\frac{g}{2}2\Delta t) =-v_{02}\Delta t-\frac{g}{2}\Delta t² \|: (v_{01}-v_{02}-\frac{g}{2}2\Delta t) \end{eqnarray}$ Und dann: $\begin{eqnarray} T = \frac{\Delta t(-v_{02}-\frac{g}{2}\Delta t)}{(v_{01}-v_{02}-g\Delta t)} \end{eqnarray}$ Allerdings sind jetzt die Vorzeichen falsch, oder!? Gruß, Morbz
07.04.2014, 22:50	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht wunderbar aus und die Vorzeichen sind nicht falsch, nur ist die Umformung noch nicht vollständig: klammere jetzt noch im Zähler und Nenner -1 aus (sprich, schreib sie vor Zähler/Nenner und dreh alle Vorzeichen um) dann kannst du die -1 kürzen und bist offiziell fertig

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