Schnittpunkte zweier Funktionen

07.04.2014, 08:31

Duinne

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Schnittpunkte zweier Funktionen

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe hier eine Aufgabe, mit der ich nicht zurecht komme:

geg.:
$\begin{eqnarray*} M=\left\{ \left(x,y\right)/ x=\cos(t), y=sin^{2}\left(t\right),0\leq t\leq \pi \right\} \end{eqnarray*}$

a)Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit der Funktion $\begin{eqnarray*} y= x^{2} \end{eqnarray*}$ und geben Sie dabei die zugehörigen t-Wert an.
b) Beschreiben Sie die mittels M gegebene Funktion in expliziter Form nur mit kartesischen Koordinaten d.h. in der Form y=f(x) mit zugehörigem Definitions- und Wertebereich (entsprechend M).

Meine Ideen:
Um Schnittpunkt zweier Funktionen zu ermitteln, müssen beide Funktionen gleichgesetzt werden.

$\begin{eqnarray*} x=\cos(t) \Rightarrow t=cos^{-1}\left(x\right) [/latex<br /> [latex] y=sin^{2}\left(cos^{-1}\left(x\right) \right) \end{eqnarray*}$

gleichgesetzt:

$\begin{eqnarray*} x^{2} =sin^{2}\left(cos^{-1}\left(x\right) \right) \end{eqnarray*}$

Und nun weiß ich auch schon nicht mehr weiter. Wie kann ich diese Gleichung jetzt nach x umstellen? Ich komme mit den trigonometrischen Funktionen nicht zurecht.

Kann mir hierbei jemand helfen?

Vielen Dank und liebe Grüße
Duinne

07.04.2014, 08:35

Duinne

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Schnittpunkte zweier Funktionen
Sorry, irgendwo ist ein Fehler drin gewesen:

$\begin{eqnarray*} x=\cos(t) \Rightarrow t=cos^{-1}\left(x\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=sin^{2}\left(cos^{-1}\left(x\right) \right) \end{eqnarray*}$

07.04.2014, 08:54

klarsoweit

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RE: Schnittpunkte zweier Funktionen
Dieser Weg erscheint mir nicht zielführend. Überlege, wie du sin²(t) in einen Ausdruck, der cos(t) enthält, umformen kannst, so daß du mittels x = cos(t) das y als Gleichung in x schreiben kannst. smile

smile

07.04.2014, 09:20

Duinne

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RE: Schnittpunkte zweier Funktionen
Okay.

$\begin{eqnarray*} y=sin^{2}\left(t\right)=\frac{1}{2} \left(1-cos\left(2t\right) \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2= \left(1-cos\left(2t\right) \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1= -\cos(2t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -1= \cos(2t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos^{-1} -1= 2t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t=\frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$

eingesetzt in x=cos(t):

$\begin{eqnarray*} x=\cos(\frac{\pi }{2} ) \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt?

Danke und Gruß
Duinne

07.04.2014, 09:29

klarsoweit

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RE: Schnittpunkte zweier Funktionen

Zitat:

Original von Duinne
$\begin{eqnarray*} y=sin^{2}\left(t\right)=\frac{1}{2} \left(1-cos\left(2t\right) \right) \end{eqnarray*}$

Hm. Ich hatte es mir anders vorgestellt, nämlich so: $\begin{eqnarray*} y = sin^{2}\left(t\right) = 1-cos^2\left(t\right) \end{eqnarray*}$

Und da jetzt cos(t)=x einsetzen. smile

smile

07.04.2014, 09:36

Duinne

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RE: Schnittpunkte zweier Funktionen

Zitat:

Hm. Ich hatte es mir anders vorgestellt, nämlich so: $\begin{eqnarray*} y = sin^{2}\left(t\right) = 1-cos^2\left(t\right) \end{eqnarray*}$

Und wieso ist das so?

Demnach hätte ich dann Folgendes:

$\begin{eqnarray*} y =1-cos^2\left(cos^{-1}\left(x\right) \right) \end{eqnarray*}$

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07.04.2014, 09:58

klarsoweit

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RE: Schnittpunkte zweier Funktionen

Zitat:

Original von Duinne
Und wieso ist das so?

Schon mal die Gleichung $\begin{eqnarray*} sin^{2}(x) + cos^2(x) = 1 \end{eqnarray*}$ gesehen?

Zitat:

Original von Duinne
Demnach hätte ich dann Folgendes:

$\begin{eqnarray*} y =1-cos^2\left(cos^{-1}\left(x\right) \right) \end{eqnarray*}$

Nun laß das doch mal mit der Umkehrfunktion des cos und ersetze einfach cos(t) = x.

07.04.2014, 10:03

Duinne

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RE: Schnittpunkte zweier Funktionen
Diese Gleichung habe ich noch nicht gesehen. Gibt es noch mehr davon...? Ich bin nämlich nicht im Stande mit sin und cos zu rechnen. Gibt es da vielleicht eine tolle Übersicht irgendwo?

Zurück:

$\begin{eqnarray*} y = 1-x^{2} \end{eqnarray*}$

So?

07.04.2014, 10:11

klarsoweit

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RE: Schnittpunkte zweier Funktionen

Zitat:

Original von Duinne
Diese Gleichung habe ich noch nicht gesehen.

Da bin ich jetzt aber ziemlich schockiert. geschockt

geschockt

Eine der grundlegenden Formeln der Trigonometrie, ohne die man eigentlich nicht die allgemeine Hochschulreife erhält, kennst du nicht? Das muß ich direkt den Bildungsministerien melden. Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von Duinne
Gibt es noch mehr davon...?

Nun ja, eine hast du ja selber genutzt. Hier gibt es noch mehr:
http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsamml...ige_Darstellung

Zitat:

Original von Duinne
Zurück:

$\begin{eqnarray*} y = 1-x^{2} \end{eqnarray*}$

So?

Ja.

smile

07.04.2014, 10:36

Duinne

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RE: Schnittpunkte zweier Funktionen
Das solltest du unbedingt tun! Ich habe nämlich nur ein Schmalspur-Fachabi gemacht, das mir jetzt im Studium mächtig auf die Füße fällt...
Ich habe da noch einige Probleme mit einer anderen Aufgabe. Dazu aber ein separater Thread.

$\begin{eqnarray*} y = 1-x^{2}\Rightarrow x_{1,2}=\pm \sqrt{0,5} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in eine y-Gleichung bekomme ich für

$\begin{eqnarray*} y_{1,2}=0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_{1}=\left(\sqrt{0,5}|0,5 \right) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} S_{2}=\left(-\sqrt{0,5}|0,5 \right) \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste ich die Punkte ja jeweils mit den x- und y-Werten in Ursprungsgleichungen setzen, um t zu berechnen.
Für das t aus der x-Gleichung hätte ich zwei Werte. Kann man nur die Werte nehmen, die in beidne Gleichungen auftauchen?

zu b) $\begin{eqnarray*} y=1-x^{2} \end{eqnarray*}$
Das ist ja schon die explizite Form mit y=f(x).

Wie komme ich jetzt zum Definitions- und Wertebereich?

07.04.2014, 11:04

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RE: Schnittpunkte zweier Funktionen

Zitat:

Original von Duinne
Jetzt müsste ich die Punkte ja jeweils mit den x- und y-Werten in Ursprungsgleichungen setzen, um t zu berechnen.

Du mußt doch jetzt nur noch schauen, für welche t $\begin{eqnarray*} cos(t) = x_{1,2} \end{eqnarray*}$ gilt.

Zitat:

Original von Duinne
Wie komme ich jetzt zum Definitions- und Wertebereich?

Aus x = cos(t) kannst du für 0 <= t <= pi direkt ablesen, aus welchem Bereich dann das x kommt.

07.04.2014, 11:16

Duinne

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RE: Schnittpunkte zweier Funktionen

Zitat:

Du mußt doch jetzt nur noch schauen, für welche t $\begin{eqnarray*} cos(t) = x_{1,2} \end{eqnarray*}$ gilt.

Da hätte ich 0,25pi und 0,75 pi für t. Die 0,75pi tauchen allerdings in der Lösung nicht auf.
Warum prüfe ich nur die x-Werte?

Zitat:

Aus x = cos(t) kannst du für 0 <= t <= pi direkt ablesen, aus welchem Bereich dann das x kommt.

$\begin{eqnarray*} -1\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$

Das müsste ja dann für y genauso funktionieren, oder?
Da bekomme ich zweimal 0 raus...

07.04.2014, 11:59

klarsoweit

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RE: Schnittpunkte zweier Funktionen

Zitat:

Original von Duinne
Da hätte ich 0,25pi und 0,75 pi für t. Die 0,75pi tauchen allerdings in der Lösung nicht auf.

Daß 0,75pi nicht in der Lösung auftaucht, erstaunt mich. Ich kann jetzt nicht sagen, ob wir oder der Aufgabensteller da was übersehen haben. geschockt

geschockt

Zitat:

Original von Duinne
Warum prüfe ich nur die x-Werte?

Die Schnittpunkte haben doch die x-Koordinaten $\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \sqrt{0,5} \end{eqnarray*}$ . Jetzt muß man halt sehen, für welche t diese x-Werte erreicht werden. Der y-Wert ergibt sich automatisch. smile

smile

Zitat:

Original von Duinne
$\begin{eqnarray*} -1\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$

Das müsste ja dann für y genauso funktionieren, oder?
Da bekomme ich zweimal 0 raus...

Wie dieses? Du darfst da nicht einfach nur die Randwerte in y = 1 - x² einsetzen.

07.04.2014, 12:30

Duinne

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RE: Schnittpunkte zweier Funktionen
Oh sorry, ich habe mich verlesen. 0,75 pi sind auch drin! Alles richtig, was du mir hier erzählst.

Für den Bereich $\begin{eqnarray*} -1\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ habe ich in der Gleichung x=cos(t) einmal 0 und einmal pi eingesetzt. Das ist der Bereich von t, der bei M angegeben ist. Warum geht das bei y nicht?

07.04.2014, 14:09

klarsoweit

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RE: Schnittpunkte zweier Funktionen
Weil y = x² für -1 <= x <= 1 nicht monoton ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich hoffe, daß der Anspruch nicht zu hoch gehängt ist, wenn ich sage, daß y = x² eine Normalparabel darstellt, die man eigentlich von der Schule kennen sollte. smile

smile

07.04.2014, 15:14

Duinne

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RE: Schnittpunkte zweier Funktionen

Zitat:

Weil y = x² für -1 <= x <= 1 nicht monoton ist. Augenzwinkern

Das verstehe ich leider nicht.

Zitat:

Ich hoffe, daß der Anspruch nicht zu hoch gehängt ist, wenn ich sage, daß y = x² eine Normalparabel darstellt, die man eigentlich von der Schule kennen sollte.

Das verstehe ich Big Laugh

Big Laugh

das habe ich sowohl in der Unterstufe als auch im Schmalspur-Abi gehabt.

y = 1 - x² ist eine Parabel die nach unten geöffnet ist und den Scheitelpunkt bei y=1 ein hat. Daraus schließe ich

? <= y <= 1

Fehlt noch das Fragezeichen.

07.04.2014, 15:50

Duinne

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RE: Schnittpunkte zweier Funktionen
Das ? muss 0 sein. Bei mir hat es gerade Klong gemacht.

Ich muss im Bereich -1<=x<=1 schauen. Und da liegt der y-wert jeweils bei 0.

Gell?

07.04.2014, 16:36

klarsoweit

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RE: Schnittpunkte zweier Funktionen

Zitat:

Original von Duinne

Zitat:

Weil y = x² für -1 <= x <= 1 nicht monoton ist. Augenzwinkern

Das verstehe ich leider nicht.

Sorry, es geht natürlich um y = 1 - x² . Das ändert aber nichts an der prinzipiellen Aussage. Nur bei stetigen, monotonen Funktionen darf man die Grenzen des Definitionsbereichs in den Funktionsterm einsetzen, um daraus die Grenzen des Wertebereichs zu erhalten.

Zitat:

Original von Duinne
Das ? muss 0 sein. Bei mir hat es gerade Klong gemacht.

Ich muss im Bereich -1<=x<=1 schauen. Und da liegt der y-wert jeweils bei 0.

Gell?

Du meinst natürlich (hoffentlich) mit y-Wert die y-Werte an den Grenzen des Intervalls -1<=x<=1 schauen. smile

smile

07.04.2014, 17:06

Duinne

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RE: Schnittpunkte zweier Funktionen
Deswegen habe ich "jeweils" geschrieben - der y-Wert an der Stelle -1 und der Wert an der Stelle 1.

07.04.2014, 17:09

klarsoweit

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RE: Schnittpunkte zweier Funktionen
Nun ja, es wird aber nicht klar, daß da die Intervallgrenzen gemeint sind. Es könnten ja auch y-Werte an irgendwelchen anderen x-Stellen betrachtet werden.
Mit deiner letzten Aussage paßt es natürlich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.04.2014, 18:11

Duinne

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RE: Schnittpunkte zweier Funktionen
Nunja, da hast du schon Recht.

Ich bedanke mich mal wieder für die tolle Unterstützung und wünsche noch einen angenehmen Abend!

Gruß
Duinne

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