Schnittgerade zwischen zwei Ebenen in Koordinatenform

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134340 Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittgerade zwischen zwei Ebenen in Koordinatenform
Moin Wink

Die Schnittgerade zweier Ebenen die in Koordinatenform gegeben sind, wird brechnet indem eine Koordinate beider Gleichungen festgelegt wird so dass kein unterbestimmtes Gleichsungssystem mehr vorliegt. Aber ist der Wert, der für einen der Paramater festgelegt wird, willkürlich oder muss der bestimmte Anforderungen erfüllen?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

man eliminiert aus einer Gleichung eine Variable. Von den zwei übriggebliebenen Variablen setzt man eine gleich einem Parameter, z.B. t.
Dann kann man die beiden anderen Variablen in Abhängigkeit von diesem t bestimmen.
 
 
134340 Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie versteh ich deine Antwort nicht verwirrt Reden wir von dem selben Verfahren?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

vielleicht Big Laugh

Ich mache mal ein Beispiel:

,

Man erhält - nach einer Umformung dieses LGS:



In der ersten Gleichung kann man nun setzen. Dann löst man die erste Gleichung nach x auf. Anschließend kann man die zweite Gleichung nach y auflösen.
134340 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bist du denn auf gekommen, was ist mit dem y passiert?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe gerechnet.
Damit fällt das y raus.
134340 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso.

Können wir das mal an einem Beispiel von mir durchgehen, dann kann ich dir auch zeigen, was ich meine?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

sicher, wenn wir das in ca 25 Minuten schaffen. Solange bin ich noch hier.
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin nun weg; gegen Abend sollte ich aber nochmal vorbeischauen.
Wir können dann gerne dein Beispiel durchrechnen.
134340 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, die beiden Ebenen und sind gegeben. Jetzt wird eine der Koordinaten festgesetzt mit daraus ergibt sich . Aber warum macht man das hier? Kann man da beliebige Werte für jede Koordinaten einsetzen?
Bei der zweiten Ebene wird dann das gleiche gemacht indem auch gesetzt wird; das führt dann zu der Gleichung .
Anschließend wird aus dem LGS


Der wert für und bestimmt
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

hm, und wie gehts dann weiter?
Ich kenne diese Methode nicht und würde so rechnen, wie in meinem obigen Beispiel.
134340 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit


wird nun und bestimmt. Damit ist jetzt der erste Punkt , der sowohl in als auch in liegt gefunden. Jetzt wird dieses Verfahren noch einmal durchgeführt, aber mit einem anderen Wert; nämlich mit . Damit ergeben sich dann die Werte und somit ist ein zweiter Punkt gefunden worden, der sowohl in als auch in liegt. Abschließend kann aus den beiden Punkte die Schnittgerade zwischen den beiden Ebenen gebildet werden.
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

ok, verstehe.
Das ist auch möglich.
Ist nun deine Frage, warum man das macht? Die hast du im Grunde schon selbst beantwortet.
Man findet auf diese Weise zwei Punkte, die auf beiden Ebenen liegen; durch diese Punkte geht die Schnitt gerade.
Warum man gerade diese Werte (also zunächst und dann wählt, hat den einfachen Grund, dass sich dadurch ganzzählige Lösungen für die anderen Variablen ergeben.
134340 Auf diesen Beitrag antworten »

Und woher weiß ich welche Werte ich da nehmen muss? Vorher weiß man ja meistens nicht welche Werte für eine ganzzahlige Lösung eingesetzt werden müssen
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt. Ein Kriterium, woran man erkennt, welche Zahl man einsetzen soll, gibt es nicht - soweit ich weiß.
Zur Not muss man mit Brüchen weiterrechnen.
134340 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber letztendlich ist es egal? Also ich könnte da auch 200 oder 1,567 einsetzen?
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es ist egal. Nur sollte man Zahlen wählen, bei denen der Rechenaufwand nicht zu groß wird Augenzwinkern

Um nachher eine Gerade zu bekommen, bei denen keine Brüche mehr bei den Vektoren vorkommen, reicht es, wenn man es schafft, einen Punkt auf beiden Ebenen zu finden, der nur ganzzahlige Variablen hat.
Diesen wählt man als Stützvektor der Gerade. Der Richtungsvektor hat dann ggf. Brüche, die man aber eliminieren kann; es ist ja erlaubt, den Richtungsvektor mit einer beliebigen Zahl zu multiplizieren, da sich seine Orientierung dadruch nicht ändert.
134340 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ok, Danke für deine Hilfe smile
Mi_cha Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne. Wink
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