Ableitung Bruch unter Wurzel

07.04.2014, 18:05

idgaf

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Ableitung Bruch unter Wurzel

Neuer Thread, dann sieht's vllt. jemand. smile

smile

Es ist abzuleiten und soweit wie möglich zu vereinfachen.

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{\frac{2x+3}{2x-3}}=((2x+3)(2x-3)^{-1})^{\frac{1}{2}}=(2x+3)^{\frac{1}{2}}*(2x-3)^{-\frac{1}{2}}<br /> y'=\frac{1}{2}*(2x+3)^{-\frac{1}{2}}*2*(2x-3)^{-\frac{1}{2}}+(2x+3)^{\frac{1}{2}}*(-\frac{1}{2})*(2x-3)^{\frac{-3}{2}}*2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{\sqrt{(2x+3)}*\sqrt{(2x-3)}}-\frac{\sqrt{2x+3}}{\sqrt{(2x-3)^3}}=\frac{2x-2x-3-3}{\sqrt{(2x+3)}*\sqrt{(2x-3)^3}}<br /> \end{eqnarray*}$

Stimmt das so? Kann noch vereinfacht werden?

Edit Equester: Absatz eingefügt.

07.04.2014, 19:47

Bonheur

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Ich habe jetzt keinen Fehler gefunden.

Du kannst noch den Zähler vereinfachen.

07.04.2014, 20:09

idgaf

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Also wenn ich an die Rechnung weiter anknüpfe und kürze:

$\begin{eqnarray*} =\frac{-6}{\sqrt{(2x-3)}*\sqrt{(2x-3)}*(2x-3)} \end{eqnarray*}$

Stehen sollte:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2x-3}{2x+3}}*\frac{-6}{(2x-3)^2} \end{eqnarray*}$

07.04.2014, 20:33

Bonheur

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Du meinst wohl eher:

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{-6}{\sqrt{\frac{2x-3}{2x+3}} \cdot (2x-3)^{2}} \end{eqnarray*}$

Seitdem du diesen Schritt gemacht hast, sehe ich keine Möglichkeit auf diese Form zu kommen:

Zitat:

Original von idgaf
$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{\frac{2x+3}{2x-3}}=\textcolor{red}{((2x+3)(2x-3)^{-1})^{\frac{1}{2}}}=\textcolor{red}{(2x+3)^{\frac{1}{2}}*(2x-3)^{-\frac{1}{2}}} \end{eqnarray*}$

Allerdings war dein Weg auch viel zu Umständlich.

Du hast aber noch eine Möglichkeit.

Wie wäre es, wenn du die Kettenregel anwendest ?

07.04.2014, 20:46

idgaf

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Nene, ich meinte schon

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2x-3}{2x+3}}*\frac{-6}{(2x-3)^2} \end{eqnarray*}$

Is kein Fehler.

OK, dann probier ich nochmal mit der Kettenregel.

07.04.2014, 20:51

Bonheur

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Ist das eine Musterlösung ?

Ich komme nicht auf diese Lösung.

Entweder ist das ein Fehler, welches allerdings auch passieren kann, weil ich sehe keine Möglichkeit, wie sie darauf gekommen sind.

Vielleicht kann einer von den anderen Helfern nachschauen und gucken, ob ich recht habe.

Das wäre sehr nett von euch. smile

smile

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07.04.2014, 21:01

idgaf

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Musterlösung, ja. Dann sind wir schon zu zweit, die die Musterlösung nicht verstehen. Big Laugh

Big Laugh

Mit der Kettenregel wird's noch schwerer abzuleiten.

07.04.2014, 21:03

10001000Nick1

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Zitat:

Original von idgaf
Nene, ich meinte schon

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2x-3}{2x+3}}*\frac{-6}{(2x-3)^2} \end{eqnarray*}$

Mit der Kettenregel komme ich genau auf diese Lösung.

Zitat:

Original von idgaf
Es ist abzuleiten und soweit wie möglich zu vereinfachen.

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{\frac{2x+3}{2x-3}}=((2x+3)(2x-3)^{-1})^{\frac{1}{2}}\textcolor{red}{=}(2x+3)^{\frac{1}{2}}*(2x-3)^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Diese Umformung darf man übrigens eigentlich nicht so einfach machen. Denn dieses "=" gilt nur, wenn 2x-3 und 2x+3 positiv sind (denn sonst wäre die rechte Seite gar nicht definiert).
Damit der Term $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2x+3}{2x-3}} \end{eqnarray*}$ definiert ist, reicht es aber, wenn Zähler und Nenner das selbe Vorzeichen haben (dürfen also auch beide negativ sein).

Der kürzeste Weg ist hier jedenfalls meiner Meinung nach die Kettenregel. Und da hast du auch gar nicht solche Probleme mit der Wurzel.

07.04.2014, 21:05

idgaf

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Na OK, ein kleiner Fehler hat sich beim eintragen hier ergeben:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2x-3}}{2x+3}*\frac{-6}{(2x-3)^2} \end{eqnarray*}$

Jetz aber.

07.04.2014, 21:07

Bonheur

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Überhaupt nicht.

Zitat:

Original von idgaf
Mit der Kettenregel wird's noch schwerer abzuleiten.

$\begin{eqnarray*} y=\sqrt{\frac{2x+3}{2x-3}} \end{eqnarray*}$

Kettenregel:

Innere Ableitung multipliziert mit der äußeren Ableitung.

Substituieren:

$\begin{eqnarray*} u= \frac{2x+3}{2x-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y=\sqrt{u} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{u}} \cdot \text{Innere Ableitung} \end{eqnarray*}$

Und dann Rücksubstituieren.

07.04.2014, 21:12

10001000Nick1

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@idgaf: Deine "Korrektur" stimmt nicht. Die Musterlösung, die du als erstes hingeschrieben hattest, stimmt schon. Das habe ich oben auch schon geschrieben.

07.04.2014, 21:27

idgaf

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$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> y'=\frac{1}{2}*\frac{1}{\sqrt{\frac{2x+3}{2x-3}}}*(\frac{-12}{(2x-3)^2})=\frac{1}{2\sqrt{\frac{2x+3}{2x-3}}}*(\frac{-12}{(2x-3)^2})=\frac{(2x-3)^2*(-12)*(2\sqrt{\frac{2x+3}{2x-3}})}{2\sqrt{\frac{2x+3}{2x-3}}*(2x-3)^2}=..?<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Nicht wirklich einfacher..

07.04.2014, 21:33

Bonheur

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Du weißt schon, dass:

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{\frac{2x+3}{2x-3}}} \cdot \frac{-12}{(2x-3)^{2}}=\frac{-12}{2 \cdot \sqrt{\frac{2x+3}{2x-3}} \cdot (2x-3)^{2}} \end{eqnarray*}$

Über die Kettenregel hast du das Problem mit der Wurzel nicht. Gucke dir den Beitrag von Nick darüber an.

Es ist viel einfacher.

Du kannst den Ausdruck noch vereinfachen.

07.04.2014, 21:37

idgaf

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Stimmt. Mit Additionsverfahren verwechselt..
Wie kommt das Wurzel 2x-3 über den Bruchstrich hoch?

07.04.2014, 22:04

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} y'=\frac{-6}{\sqrt{\frac{2x+3}{2x-3}} \cdot (2x-3)^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=\textcolor{blue}{\frac{1}{\sqrt{\frac{2x+3}{2x-3}}}}\cdot\frac{-6}{(2x-3)^{2}} \end{eqnarray*}$

Betrachte den blau markierten Term.

Diesen Term kannst du noch umschreiben. Hast du dazu eine Idee ?

07.04.2014, 22:07

idgaf

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Ne, tschuldige. Bei doppeltem Bruch würde ich nur zwei Zahlen unter den Bruch bringen. Aber wie über den Bruch..kA

07.04.2014, 22:10

Bonheur

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Wende die Potenzregel und die Wurzelregel an.

Potenzregel:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{n}}=x^{-n} \end{eqnarray*}$

Wurzelregel:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x}=x^\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Edit: Wurzelregel verbessert. Big Laugh

Big Laugh

07.04.2014, 22:15

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Bonheur
Wurzelregel:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{n}}=x^\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Nein. Richtig ist $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x}=x^\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

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