Aufgabe zur Determinantenberechnung, warum funktioniert das nicht?

07.04.2014, 19:56

pajogamoma

Aufgabe zur Determinantenberechnung, warum funktioniert das nicht?

Meine Frage:
Hallo Allerseits,

Ich versuche mich gerade an einer Aufgabe, aber die Funktioniert leider nicht. Ehrlich gesagt möchte ich eigentlich wissen warum meine Überlegungen nicht korrekt sind und nicht wie das eigentlich funktioniert(obwohl ich gegen Tipps nichts einzuwenden habe...)

Hier die Aufgabe: Bestimme per Induktion die Determinante folgender nxn-Matrix A
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & ... & n \\ 2 & 2 & 3 & ... & n \\ ... & ... & ... & ... & n \\ n & n & n & n & n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nach ausprobieren habe ich folgenden Verdacht:
$\begin{eqnarray*} |A_{n,n}| = (-1)^{(n+1)} * n \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
1. zuerst dache ich mir, dass ich wg der linearität der Determinante, der Regel detA = det(A^T) folgendes machen kann:
$\begin{eqnarray*} | \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & ... & n \\ 2 & 2 & 3 & ... & n \\ ... & ... & ... & ... & n \\ n & n & n & n & n \end{pmatrix}| = | \begin{pmatrix} 1/2 & 2 & 3 & ... & n \\ 0 & 2/2 & 3 & ... & n \\ ... & ... & ... & ... & n \\ 0 & 0 & 0 & 0 & n/2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 0 & ... &0 \\ 2 & 2/2 & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & 0 \\ n & n & n & n & n/2 \end{pmatrix} | =|\begin{pmatrix} 1/2 & 2 & 3 & ... & n \\ 0 & 2/2 & 3 & ... & n \\ ... & ... & ... & ... & n \\ 0 & 0 & 0 & 0 & n/2 \end{pmatrix}| + |\begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 0 & ... &0 \\ 2 & 2/2 & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & 0 \\ n & n & n & n & n/2 \end{pmatrix}| =|\begin{pmatrix} 1/2 & 2 & 3 & ... & n \\ 0 & 2/2 & 3 & ... & n \\ ... & ... & ... & ... & n \\ 0 & 0 & 0 & 0 & n/2 \end{pmatrix}| + |\begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 0 & ... &0 \\ 2 & 2/2 & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & 0 \\ n & n & n & n & n/2 \end{pmatrix}^T| = 2 * | \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & ... & n \\ 0 & 2/2 & 3 & ... & n \\ ... & ... & ... & ... & n \\ 0 & 0 & 0 & 0 & n/2 \end{pmatrix} | \end{eqnarray*}$
dann würde ich aber als diagonalprodukt $\begin{eqnarray*} (n+1)!/2^{n+1} \end{eqnarray*}$
rausbekommen was mal so garnicht zu meiner Vermutung passt.

2. dann dachte ich ich probiers über die streichungsmatrix und gucke mir die letzten beiden zeilen der Form
(n) (n) ... (n+1) Z1
(n+1) (n+1) ... (n+1) Z2
<=>
(n) (n) ... (n+1)
(0) (0) ... (n+1)^2 -n(n+1) = (n+1)Z1-(n)Z2

aber das ergibt dann (n+1)^2 -n(n+1)= n+1
Eigentlich sollte ja
$\begin{eqnarray*} A_{n+1,n+1} = det A'_{n+1,n+1} \end{eqnarray*}$
sein aber das ergibt dann bei Entwicklung nach der letzten Zeile
$\begin{eqnarray*} det A_{n+1,n+1}' = 0+0+...+0+(n+1) |A_{n,n}| \neq (-1)^{n+2} * (n+1) \end{eqnarray*}$
das ist ja auch nicht was ich will...

Wobei liegen denn hier die denk und (hoffentlich nicht) rechenfehler? Denn ich finde Sie beim besten Willen nicht...
Wahrscheinlich sind die antworten ganz einfach aber ich verstehs halt einfach nicht Augenzwinkern

Danke

lg

pajogamoma

07.04.2014, 21:34

weisbrot

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RE: Aufgabe zur Determinantenberechnung, warum funktioniert das nicht?
determinante ist NICHT linear, also zumindest nicht additiv, also die erste rechnung ist schnmal falsch. den zweiten ansatz verstehe ich nicht.
versuchs einfach mal mit elementaren zeilenumformungen!
lg

08.04.2014, 11:15

pajogamoma

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Determinante, linearität
Danke für die Antwort, ich denke ich habe dann folgenden Satz missverstanden, vielleicht kann den mir dann jmd erklären:

Die det-Fkt ist linear in jeder Zeile, d.h.:
Seien v_i Zeilenvektoren, dann ist
$\begin{eqnarray*} det( v_1, ... , v_j + v_j ' , ... , v_n) = det( v_1, ... , v_j , ... , v_n)+ det( v_1, ... , v_j ' , ... , v_n) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} det( v_1, ... , \alpha v_j ' , ... , v_n) = \alpha det( v_1, ... , v_j , ... , v_n) \end{eqnarray*}$

Oder kann es sein, dass ich die Zeilenlinearität nicht einfach auf die gesamte Matrix übertragen kann (warum nicht?)?
(Vielleicht hat jmd einen link zu einem konkreten Rechen-Bsp oder kann mir ein kleines geben...)

Zu meinem 2. Ansatz:
Ich habe mir einfach nur die letzten beiden Zeilen der Matrix angeguckt, die sehen dann ja so aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n & n & ... & n+1 \\ n+1 & n+1 & ... & n+1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und dann rechne ich
(n+1) * "vorletzte Zeile" - n * "letzte Zeile"
und dann sollte doch wohl in der letzten Zeile das rauskommen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & ... & (n+1)^2-n(n+1) \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
wenn ich dann nach dieser entwickle, dann fallen ja alle Streichungsmatrizen weg bis auf eine und das ist dann ja die Matrix(n,n) auf die ich dann die Induktionsvorraussetzung anwenden kann...
So bin ich dann darauf gekommen:
$\begin{eqnarray*} det A_{n+1,n+1}' = 0+0+...+0+ (-1)^{2n+3} (n+1) |A_{n,n}| \neq (-1)^{n+2} * (n+1) \end{eqnarray*}$

lg
pajogamoma

08.04.2014, 12:34

weisbrot

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RE: Aufgabe zur Determinantenberechnung, warum funktioniert das nicht?

Zitat:

Oder kann es sein, dass ich die Zeilenlinearität nicht einfach auf die gesamte Matrix übertragen kann (warum nicht?)?

ja, mein fehler, darauf hätte ich eingehen sollen, also: die determinante als funktion von matrizen/endomorphismen aufgefasst ist nicht linear, also z.b. $\begin{eqnarray*} \det(A+B)\neq\det(A)+\det(B) \end{eqnarray*}$ im allgemeinen. aber als funktion in n variablen (n-vektoren, sozusagen die spaltenvektoren der matrix) ist sie doch (multi-)linear, also linear in jedem argument/vektor.

zu deinem ansatz: pass auf, was du machst ist keine elementare zeilenumformung, da du zwischendurch noch die letzte zeile mit n multiplizierst - wodurch sich auch die determinante um den faktor n ändert. ansonsten sollte das eigentlich so funktionieren, ich finde es aber etwas kompliziert. versuch doch mal, in der ersten zeile beginnend und absteigend, immer von der k-ten zeile die (k+1)-te zeile abzuziehen. am ende solltest du, nur durch diese elem. zeilenumf., die die determinante nicht verändern, auf eine dreiecksmatrix kommen.

lg

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