Fehlerabschätzung Riemann

07.04.2014, 20:01	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehlerabschätzung Riemann Guten Abend, ich habe folgende Aufgabe: Seien a < b, f definiert auf [a,b] zweimal stetig differenzierbar, $\begin{eqnarray} Z_n := \{ x_i = a+ih, i = 0,...,n\} \end{eqnarray}$ eine Zerlegung von [a,b] mit Feinheit $\begin{eqnarray} h = \frac{b-a}{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S_n:= h \sum\limits_{i=1}^n f(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}) \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} \| \int_a^b \! f(x) \, dx - S_n \| \le \frac{b-a}{24} h^2 \max\limits_{\xi \in [a,b]} \|f''(\xi)\| \end{eqnarray}$ Die Abschätzung bekomme ich nicht hin. Irgendwie fehlt mir die Idee, wie ich die Ableitungen hineinbringe. Bisher bin ich so vorgegangen: $\begin{eqnarray} \| \int_a^b \! f(x) \, dx - S_n \| = \| \sum\limits_{i=1}^n \int_{x_i-1}^{x_i} f(x) dx - h \sum\limits_{i=1}^{n} f(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}) \| = \| \sum\limits_{i=1}^{n} ( \int_{x_i-1}^{x_i} f(x) dx - h f(\frac {x_{i-1}+x_i}{2})) \| = \| \sum\limits_{i=1}^{n} ( f(\xi) - h f(\frac {x_{i-1}+x_i}{2})) \| \end{eqnarray}$ für ein Xi aus [x_i - 1,x_i] (Mittelwertsatz der Integralrechnung). Doch wie geht es nun weiter bzw. taugt das überhaupt was? lg
08.04.2014, 08:15	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay ich habe einen Fehler eingebaut. Richtig müsste sein: $\begin{eqnarray} \forall i \in \mathbb N \exists \xi_i \in [x_{i-1},x_i] : \| \sum\limits_{i=1}^{n} ( \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x) dx - h f(\frac {x_{i-1}+x_i}{2})) \|<br /> = \| \sum\limits_{i=1}^{n} ( h f(\xi_i) - h f(\frac {x_{i-1}+x_i}{2})) \|<br /> = \| \sum\limits_{i=1}^{n} h (f(\xi_i) - f(\frac {x_{i-1}+x_i}{2})) \| <br /> \le \sum\limits_{i=1}^{n} h \| f(\xi_i) - f(\frac {x_{i-1}+x_i}{2}) \| \end{eqnarray}$ Das sieht dann verdächtig nach Mittelwertsatz der Differentialrechung aus. Da ich aber von den Xis nicht genau weiß, wo sie liegen kann ich nur sagen: $\begin{eqnarray} \forall i \in \mathbb N \exists \phi_i \in [x_{i-1},x_i] : \sum\limits_{i=1}^{n} h \| f(\xi) - f(\frac {x_{i-1}+x_i}{2}) \| <br /> = \sum\limits_{i=1}^{n} h \| f'(\phi_i) (x_i - x_{i-1}) \|<br /> = \sum\limits_{i=1}^{n} h^2 \| f'(\phi_i) \| \end{eqnarray}$ Aber woher soll die zweite Ableitung kommen? Hat da wer eine Idee? lg
08.04.2014, 10:17	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest Taylorn: Mit $\begin{eqnarray} a_i := \frac{x_{i-1}+x_i}{2} \end{eqnarray}$ gilt in jedem Intervall $\begin{eqnarray} [x_{i-1},x_i] \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f(x)=f(a_i) + (x-a_i)f'(a_i) + \frac{1}{2}(x-a_i)^2f''(\xi) \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} \xi \in [x_{i-1},x_i] \end{eqnarray}$ Der störende Term (der mit der ersten Ableitung) fällt beim integrieren natürlich weg.
08.04.2014, 19:04	daLoisl	Auf diesen Beitrag antworten »
Herzlichen Dank, damit habe ich es geschafft. Das Vereinfachen des Integrals war jedoch mit sehr viel Frust verbunden. lg

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