Lebesgue-Messbarkeit

08.04.2014, 10:59

UniNeuling

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Lebesgue-Messbarkeit

Hallo ich bin gerade etwas verwirrt, wir haben gelernt, dass eine Menge Lebesgue meßbar ist wenn ihre charakteristische Funktion integrierbar ist.

Nun ist doch aber $\begin{eqnarray*} \int 1_{\mathbb{R}} dx = \infty \end{eqnarray*}$ was doch gemäß definition bedeutet, dass R nicht lebesgue meßbar ist. Habe ich hier die Definition durch gewürfelt?

Gruß Pedro

08.04.2014, 13:12

weisbrot

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RE: Lebesgue-Messbarkeit
und IR ist doch auch nicht l.massbar. oder wo ist das problem?
lg

08.04.2014, 14:25

UniNeuling

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Jede beschränkte und offene Menge bzw. beschränkt plus abgeschlossen ist L-integrierbar; Kannst du mir mal ein paar Beispiele geben einer Menge die beschränkt aber nicht Lebesgue integrabel ist?

Bei WIki habe ich nicht viele Beispiele gefunden, wo kann ich denn mal 10 Beispiele für nicht Lebesgue Mengen habe...

Zum Beispiel gilt ja auch $\begin{eqnarray*} \int_{R^n} 1_{\mathbb{N} 1_{\mathbb{N}} dx \end{eqnarray*}$

08.04.2014, 16:41

magic_hero

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RE: Lebesgue-Messbarkeit

Zitat:

Original von UniNeuling
Hallo ich bin gerade etwas verwirrt, wir haben gelernt, dass eine Menge Lebesgue meßbar ist wenn ihre charakteristische Funktion integrierbar ist.

Hm, eigentlich sollte hier wohl "beschränkte Menge" und nicht nur "Menge" stehen. Dann stimmt die Aussage jedenfalls.

Zitat:

Original von UniNeuling
Nun ist doch aber $\begin{eqnarray*} \int 1_{\mathbb{R}} dx = \infty \end{eqnarray*}$ was doch gemäß definition bedeutet, dass R nicht lebesgue meßbar ist.

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist Lebesgue-messbar mit Lebesgue-Maß = unendlich, so wie du es hier stehen hast. ist dann kein Widerspruch zu oben, wenn dort wie gesagt "beschränkte Menge" stünde, was wohl auch so sein sollte.

Zitat:

Original von UniNeuling
[...] Kannst du mir mal ein paar Beispiele geben einer Menge die beschränkt aber nicht Lebesgue integrabel ist?

Bei WIki habe ich nicht viele Beispiele gefunden, wo kann ich denn mal 10 Beispiele für nicht Lebesgue Mengen habe...

Nun ja, es ist auch nicht so einfach, ein Beispiel anzugeben. Siehe auch folgende Wikipedia-Artikel, die das grob beschreiben (insbesondere letzterer):
http://de.wikipedia.org/wiki/Lebesgue-Maß
http://de.wikipedia.org/wiki/Vitali-Menge

08.04.2014, 18:27

UniNeuling

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Zitat:

Hm, eigentlich sollte hier wohl "beschränkte Menge" und nicht nur "Menge" stehen. Dann stimmt die Aussage jedenfalls.

Nope! Die Definition ist in meinem Buch, dass eine Menge meßbar ist genau dann wenn das Integral über die 1 Funktion existiert, dass impliziert aber noch lange nicht, dass wir uns auf beschränkte Mengen beschränken müssen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist Lebesgue-messbar mit Lebesgue-Maß = unendlich, so wie du es hier stehen hast. ist dann kein Widerspruch zu oben, wenn dort wie gesagt "beschränkte Menge" stünde, was wohl auch so sein sollte.

Danke für deine Hilfe aber wenn ich die Lebesgue messbarkeit gem. deiner Aussage nur für beschränkte mengen testen kann, dann könnte ich die Reellen zahlen nicht "messen" bzw. das Lebesgue Integral für die reellen Zahlen "brechne".

Deine Aussage ist etwas verwirrt mich etwas...

Ja der erste Link zum Lebesgue Integral ist zwar schön, aber einen schlechteren WIKI Artikel habe ich noch nie gesehen...

Irgendwas stimmt doch nicht, der vor dir sagt R ist nicht Lebesgue meßbar; du sags

08.04.2014, 18:32

UniNeuling

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z.b. ist $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^n} 1_{\mathbb{N}^n} \ dx = 0 \end{eqnarray*}$ aber N^n ist unbeschränkt, also was du in der Def. des messbarkeit mit dem beschränkt suchst sehe ich grade nicht ein??!!

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08.04.2014, 19:09

magic_hero

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Zitat:

Original von UniNeuling
Nope! Die Definition ist in meinem Buch, dass eine Menge meßbar ist genau dann wenn das Integral über die 1 Funktion existiert, dass impliziert aber noch lange nicht, dass wir uns auf beschränkte Mengen beschränken müssen.

Gut, okay, wenn du dir sicher bist, dass nirgendwo in diesem Abschnitt auf beschränkte Mengen eingeschränkt wird, dann könnte mit Integrierbarkeit auch gemeint sein, dass beim Integral auch unendlich herauskommen darf. Dann funktioniert der von dir beschriebene Satz auch für die reellen Zahlen, evtl. muss man dann aber bei der Formulierung weiterer Sätze aufpassen.

Zitat:

Original von UniNeuling
Danke für deine Hilfe aber wenn ich die Lebesgue messbarkeit gem. deiner Aussage nur für beschränkte mengen testen kann, dann könnte ich die Reellen zahlen nicht "messen" bzw. das Lebesgue Integral für die reellen Zahlen "brechne".

Ich sehe den Widerspruch nicht. Schränkt man den von dir genannten Satz auf beschränkte Mengen ein, so liefert dir der Satz eben nur ein Kriterium für beschränkte Mengen, nicht aber für unbeschränkte, wie eben z.B. die reellen Zahlen. Es ist ja nicht so, als würde man das Lebesgue-Maß über die Integrierbarkeit von charakt. Funktionen definieren (schließlich kann man das Lebesgue-Integral schlecht ohne das Lebesgue-Maß einführen).

Zitat:

Original von UniNeuling
Ja der erste Link zum Lebesgue Integral ist zwar schön, aber einen schlechteren WIKI Artikel habe ich noch nie gesehen...

Na ja, er ist vielleicht nicht der beste, aber ich wollte dir damit nur zeigen, wie man auf nicht-Lebesgue-messbare Mengen kommt, weil das eben nicht so einfach ist.

Zitat:

Original von UniNeuling
z.b. ist $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^n} 1_{\mathbb{N}^n} \ dx = 0 \end{eqnarray*}$ aber N^n ist unbeschränkt, also was du in der Def. des messbarkeit mit dem beschränkt suchst sehe ich grade nicht ein??!!

Ich verstehe das Problem hierbei nicht. $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}^n \end{eqnarray*}$ ist in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ offenbar eine Nullmenge, d.h. da passt ja alles. "Probleme" (in der Definition, das, was wir hier bisher besprechen) gibt es ja nur bei solchen Mengen, die keine Nullmengen sind (und dabei unbeschränkt).

08.04.2014, 19:31

Guppi12

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Hallo,

die Terminologie ist nicht ganz einheitlich. Die einen meinen mit messbar, was die anderen mit lokal-messbar bezeichnen.

Ich bin mir ziemlich sicher, dass der TE die Definition gelernt hat, bei der er das, was magic_hero als messbar bezeichnet als lokal-messbar gesehen wird.

Ich hoffe ich konnte damit ein paar Missverständnisse klären.

08.04.2014, 19:52

UniNeuling

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Zitat:

Ich sehe den Widerspruch nicht. Schränkt man den von dir genannten Satz auf beschränkte Mengen ein, so liefert dir der Satz eben nur ein Kriterium für beschränkte Mengen, nicht aber für unbeschränkte, wie eben z.B. die reellen Zahlen. Es ist ja nicht so, als würde man das Lebesgue-Maß über die Integrierbarkeit von charakt. Funktionen definieren (schließlich kann man das Lebesgue-Integral schlecht ohne das Lebesgue-Maß einführen).

Doch in der Tat man definiert in meinem Buch das Integral über Hüllreihen und führt dann erst den Begriff der meßbarkeit ein.

Aber wie auch immer, es muss doch eine einheitliche Ansicht bezüglich der Meßbarkeit von unbeschränkten Mengen, soweit ich weiß ist im Endeffekt LEBESGUE Integrierbarkeit immer das selbe, ob man es nun mit Methode a oder b definiert ist egal, dass Integral was man am Ende hat ist gleich...

Und mein Buch ist ein sehr renomiertes ANALYSIS Buch...

Zitat:

Ich verstehe das Problem hierbei nicht. $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}^n \end{eqnarray*}$ ist in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ offenbar eine Nullmenge, d.h. da passt ja alles. "Probleme" (in der Definition, das, was wir hier bisher besprechen) gibt es ja nur bei solchen Mengen, die keine Nullmengen sind (und dabei unbeschränkt).

Nein Nein Nein, du sagtest man kann das Lebesgue Integral nur für beschränkte Mengen definieren, dass wäre aber sinnloss, denn dann kann ich dieses Beispiel nicht mal mehr ausrechnen; Möchtest du das?

Lebesgue Messbar ist Lebesgue Messbar, ich habe nich nie gesehen, dass sich das unterscheidet.

08.04.2014, 19:55

UniNeuling

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Zitat:

Hallo, die Terminologie ist nicht ganz einheitlich. Die einen meinen mit messbar, was die anderen mit lokal-messbar bezeichnen.

Vorsicht, nicht die ganze Maßtheorie in eine Topf werfen, es geht mir Lediglich um Lebesgue Meßbarkeit und von lokaler Lebesgue Meßbarkeit habe ich noch nie was gehört.

08.04.2014, 19:56

Che Netzer

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Lokale Messbarkeit von Mengen habe ich noch nicht gesehen. Würde mich auch wundern, wenn das dann einfach "messbar" genannt wird.

Ich vermute eher, dass hier Integrierbarkeit und Messbarkeit verwechselt werden.
Manche Autoren nennen eine Menge integrierbar, wenn ihre Indikatorfunktion integrierbar ist. Das wäre dann ein anderes Wort für "hat endliches Maß". Beschränkte messbare Mengen sind dann integrierbar bzw. haben endliches (Lebesgue-)Maß, die Umkehrung gilt aber keineswegs. Es gibt sogar offene Mengen, die endliches Maß haben, aber unbeschränkt sind.

Falls es immer noch Unklarheiten gibt, sollte am besten das Buch genannt werden, aus dem die Definition stammt.

08.04.2014, 20:04

magic_hero

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Zitat:

Original von UniNeuling
Aber wie auch immer, es muss doch eine einheitliche Ansicht bezüglich der Meßbarkeit von unbeschränkten Mengen, soweit ich weiß ist im Endeffekt LEBESGUE Integrierbarkeit immer das selbe, ob man es nun mit Methode a oder b definiert ist egal, dass Integral was man am Ende hat ist gleich...

Da kann ich dir nur zustimmen.

Zitat:

Original von UniNeuling
Und mein Buch ist ein sehr renomiertes ANALYSIS Buch...

Glaube ich dir gut und gerne. Entweder du schaust noch mal genau nach, was das alles im Vorfeld passiert und ob dort irgendwo auf das von dir gefundene Problem eingegangen wird, oder du sagst uns den Namen des Buches und dann kann ich (oder gerne jemand anderes) auch mal nachschauen, wenn ich etwas mehr Zeit habe und an das Buch komme.

Zitat:

Original von UniNeuling
Nein Nein Nein, du sagtest man kann das Lebesgue Integral nur für beschränkte Mengen definieren, dass wäre aber sinnloss, denn dann kann ich dieses Beispiel nicht mal mehr ausrechnen; Möchtest du das?

Das habe ich hingegen nie behauptet. Ich habe nur vorgeschlagen, dass man deinen Satz auf beschränkte Mengen einschränkt, weil er dann meinem Verstandnis nach stimmt (und es auch keine weiteren Probleme nach sich ziehen würde). Dann hätte man halt ein Kriterium für die Messbarkeit beschränkter Mengen (für unbeschränkte Mengen kann man sich ja immer noch auf die ursprüngliche Definition zurückziehen).

Ansonsten beachte natürlich auch den Hinweis von Che Netzer.

08.04.2014, 20:11

Guppi12

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Hallo,

in unserer Vorlesung wurde zwischen Messbarkeit und lokaler Messbarkeit unterschieden (ja von Mengen..). Dazu gibt es ein Skript aber kein Buch. Das kommt wahrscheinlich daher, dass bei uns nicht der maßtheoretische Zugang zum Lebesgue-Integral gewählt wurde. Bei uns entstand der Begriff der Lebesgue-Messbarkeit von Mengen erst aus dem Begriff der Lebesgue-Integrierbarkeit der zugehörigen charakteristischen Funktionen heraus. (Ich persönlich fand den Aufbau ziemlich schade, soll aber alles in Stochastik nachgeholt werden angeblich)

Dachte, vielleicht wäre bei der Vorlesung des TE der selbe Aufbau gewählt worden, deswegen mein Einwurf. Da dem aber anscheinend nicht so ist, bin ich mal weg. Schöne Woche.

08.04.2014, 20:21

UniNeuling

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Konrad Königsberger Analysis II.

Die Menge wird hier einfach Lebesgue Meßbar genannt, wenn

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^n} 1_{A} dx = \int_{A} dx \end{eqnarray*}$

integrabel ist. Und integral ist eine Funktion wenn eine Treppenfunktion $\begin{eqnarray*} \psi_i : = \sum_{k=0}^{\infty} 1_{Q_k} \end{eqnarray*}$ für geeignete Quader Q_k man definiert dann $\begin{eqnarray*} \Vert f \Vert := inf \{ I(\psi) = \sum_{k}^{\infty} c_k vol(Q_k);\ \psi \ \text{ist Hüllreihe} \} \end{eqnarray*}$ .

c_k ist die Höhe eines geeigneten Quaders. Dann zeigt man die Existenz der obigen Norm für die Einsfunktion von beliebigen Quadern. und schließlich für beliebige Treppenfunktionen.

Man beachte, dass obiges INF für jede Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{C} \cup \infty \end{eqnarray*}$ existiert und entweder eine pos. Zahl oder unendlich ist.

Gibts nun eine Treppenfkt. mit $\begin{eqnarray*} \psi_k \rightarrow f \end{eqnarray*}$ in der Norm, dann ist f Lebsegue integrabel.

Das dürfte auch dass selbe sein wie wenn man fordert $\begin{eqnarray*} \int \vert f \vert dx < \infty \end{eqnarray*}$ , meine Def. des Lebesgue Integrals unterscheidet sich nicht von allen anderen.

08.04.2014, 20:28

UniNeuling

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Schreibfehler:

Und integriebar ist eine Fkt. wenn eine Treppenfkt. existiert

08.04.2014, 20:40

Che Netzer

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Was dort als "messbar" bezeichnet wird, ist üblicherweise tatsächlich als "messbar mit endlichem Maß" oder wie gesagt bei einigen auch als "integrierbar" bekannt.

09.04.2014, 11:24

UniNeuling

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Also ist R nicht integrabel nach Definition?

09.04.2014, 11:30

Che Netzer

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Das ohnehin nicht. Beim Königsberger ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ aber auch nicht messbar, da er diesen Begriff äquivalent zu dem benutzt, was allgemein als "integrierbar" bzw. "messbar mit endlichem Maß" bezeichnet wird.

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