Zyklische Untergruppe invertierbarer Matrizen

08.04.2014, 12:50

icetea01

Zyklische Untergruppe invertierbarer Matrizen

Hallo, hätte eine Frage bzgl. der folgenden Aufgabe:

Zeige: Die Menge H = $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 & n\\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} : n \in \mathbb Z \right\} \end{eqnarray*}$

ist zyklische Untergruppe der Gruppe invertierbarer reeller 2x2 Matrizen.

Dass die Matrix invertierbar ist, kann ich beweisen bzw. mir ausrechnen, dass wäre dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & (-n)\\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , also die Inverse zu H.
Dass es eine Untergruppe bildet, kann ich auch zeigen (die 3 UG-Kriterien sind erfüllt).

Die Aufgabe ist jetzt aber, zu zeigen, dass es eine zyklische Untergruppe ist. Wie zeige ich das jetzt aber (oder reichen die oben genannten Kriterien?)? Kennt sich jemand da aus und hätte paar Tipps, Vorschläge?

Vielen Dank schon mal im Voraus ! smile

08.04.2014, 13:11

weisbrot

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RE: Zyklische Untergruppe invertierbarer Matrizen
du könntest einfach zeigen, dass H isomorph zu Z ist.
lg

08.04.2014, 15:33

icetea01

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RE: Zyklische Untergruppe invertierbarer Matrizen
Z wären dann die invertierbaren Matrizen oder wie?

08.04.2014, 18:28

weisbrot

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RE: Zyklische Untergruppe invertierbarer Matrizen
nein, die ganzen zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ (mit addition).
lg

09.04.2014, 19:33

icetea01

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RE: Zyklische Untergruppe invertierbarer Matrizen

Zitat:

Original von weisbrot
nein, die ganzen zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ (mit addition).
lg

gut, und wie zeige ich, dass eine Matrix isomorph zu Z ist??

09.04.2014, 19:52

Mulder

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RE: Zyklische Untergruppe invertierbarer Matrizen

Zitat:

Original von icetea01
gut, und wie zeige ich, dass eine Matrix isomorph zu Z ist??

Nicht eine Matrix, sondern die Gruppe H.

Isomorphie nachweisen kann man u.A., indem man einfach einen Isomorphismus zwischen diesen beiden Gruppen angibt. Das ist in diesem Fall ziemlich leicht.

Es ist ansonsten auch recht leicht zu sehen, dass $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ z.B. von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ erzeugt wird.

09.04.2014, 20:11

icetea01

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RE: Zyklische Untergruppe invertierbarer Matrizen
d.h. meine Funktion schaut folgendermaßen aus:

f:Z--> H, n --> f(n) : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und ich muss zeigen, dass die zwei Isomorphie-Bedingungen erfüllt sind?

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