Volumen von Rotationskörpern

08.04.2014, 16:31

Cravour

Volumen von Rotationskörpern

Hi,

ich habe gerade eine Aufgabe zur Übung bearbeitet und würde gerne wissen, ob
die Ergebnisse korrekt sind. Falls jemand rüber schauen könnte, wäre es sehr nett.

Ein Öltank hat die abgebildete zylindrische Form mit kuppelartigem Boden. Die Maße
können der Zeichnung entnommen werden.
a) Modellieren Sie das Bodenstück durch eine Wurzelfunktion der Form $\begin{eqnarray*} f(x)=a\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ .
Die Lage des Koordinatensystems können Sie der Abbildung entnehmen.
b) Bestimmen Sie nun das Fassungsvermögen des Bodenteils mit der Rotationsformel
und berechnen Sie das Gesamtvolumen des Tankes.
c) In den Behälter fließen beim Befüllen 2l Öl pro Sekunde ein. Nach welcher Zeit ist
der Tank bis zur halben Höhe gefüllt?
d) Zur Reinigung des Tanks wird der Bodenteil bis zur Hälfte seines Volumens mit
dem Spülmittel gefüllt. Wie hoch steht das Spülmittel über dem tiefsten Punkt?

Zu a) P(0,7 l 1) einsetzen: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{\sqrt{0,7}}\cdot \sqrt{x} \end{eqnarray*}$
Zu b) In die Rotationsformel werden a=0 und b=0,7 eingesetzt bzw. 0,7/2,7
V=1,1m³ (der Bodenteil) und V2=2pi (der obere Teil) -> Gesamt: V=7,4m³.
Zu c) Mithilfe des Dreisatzes ergibt sich: 1846 Sekunden, also 30,76 Minuten.
Zu d) Muss ich hier nicht einfach die Hälfte des Fassungsvermögens bestimmen?
Das wäre dann ~0,55.

Danke vorab, falls sich jemand die Mühe macht, es nachzuprüfen smile

08.04.2014, 16:53

Gast11022013

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Der Zylinder sollte doch bloß eine Höhe von 1,3 haben. Du scheinst mit h=2 zu rechnen.
Der Zylinder wird ja auf das Bodenteil "draufgesetzt".

Edit: Ah, ich habe mich verguckt und diesen Trennungsstrich nicht gesehen. Ich dachte die gesamte Höhe wäre 2. Dann passt das natürlich.

Edit2:

c) Hier erhalte ich ein Ergebnis von ca. 1570.796 Sekunden.

Oder vertue ich mich wieder...

08.04.2014, 17:09

Cravour

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zu c)

Also, hier meine Rechnung; ich bin davon ausgegangen:

1s -> 2l
x s -> 3692l

Das Gesamtvolumen beträgt ~7,383m³ -> 7383dm³ -> 7383l, davon brauche ich
die Hälfte; das wären dann ~3692l. Und dann habe ich einfach nach x umgeformt:

3692l : 2l = 1846

...oder soll der Bodenteil gar nicht berücksichtigt werden? verwirrt

08.04.2014, 17:14

Gast11022013

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Also bis zur hälfte der Höhe heißt ja, das der Tank bis h=1.35m gefüllt sein soll.
Dafür musst du die ersten 0.7m als "Bodenanteil" nehmen und die verbleibenden 0.65m mit dem Zylindervolumen berechnen und drauf addieren.

In deiner Rechnung gehst du davon aus, dass das Volumen "gleichmäßig" wächst. Das tut es aber erst ab 0,7m.

bei d) sollte

$\begin{eqnarray*} 0.55=\pi\int_0^a f(x)^2 \, dx \end{eqnarray*}$

gesucht sein.

08.04.2014, 17:21

Cravour

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Ich komme irgendwie nicht auf dasselbe verwirrt

.

Muss ich also nochmal ein neues Volumen berechnen? Für die Hälfte des Tankes?
Ich verstehe auch nicht ganz, ob das Öl nur in die Zylinderform fließt oder auch in
den Bodenteil?

08.04.2014, 17:30

Gast11022013

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Ich denke schon, dass die Aufgabenstellung so gemeint ist, dass Öl auch in den Bodenteil fließt.

Das Volumen des Bodenteiles hast du ja schon berechnet und muss du nicht neu berechnen.
Dazu kommt nun noch 0.65m von dem Zylinder, damit wir insgesamt bei der hälfte sind, also 0.7m vom Bodenteil und dann die verbleibenden 0.65m. Das müsstest du noch eben kurz neu berechnen, ist aber nur einsetzen in die Formel.

$\begin{eqnarray*} 1.1+\pi\cdot 0.65\approx \pi \end{eqnarray*}$

08.04.2014, 17:49

Cravour

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Ich kriegs einfach nicht hin verwirrt

. Muss ich nicht das Volumen von 0,7 bis 1,35 berechnen?

$\begin{eqnarray*} V=\pi \cdot \int_{0,7}^{1,35} \! (\frac{1}{\sqrt{0,7}}\cdot \sqrt{x})² \, dx \end{eqnarray*}$

(Ich muss jetzt für paar Stunden weg, dann versuche ich es auch nochmal heute Abend^^)

Wink

08.04.2014, 17:52

Gast11022013

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Nein, du musst das Volumen von 0 bis 1.35 berechnen.
Das Bodenstück hat ja auch ein Volumen und die Aufgabenstellung meint es sicherlich so, dass du dieses einbeziehen musst.

Deshalb musst du das Volumen in zwei Teilschritten berechnen.
Den Lösungsweg hatte ich ja oben bereits genannt.

Die 1.1 sind das Volumen des Bodenstücks. Hinzu kommt noch das Volumen eines 0.65m hohen Zylinders.

08.04.2014, 19:22

Cravour

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Langsam wirds peinlich... Ups

$\begin{eqnarray*} V_B=\pi \cdot \int_{0}^{0,7} \! (\frac{1}{\sqrt{0,7}}\cdot \sqrt{x})² \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_Z=\pi \cdot \int_{0,7}^{1,35} \! (\frac{1}{\sqrt{0,7}}\cdot \sqrt{x})² \, dx \end{eqnarray*}$

Das stimmt so nicht, oder? Ich komme zumindest nicht auf das gleiche Ergebnis^^.

08.04.2014, 19:28

Gast11022013

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Für eine Höhe von mehr als 0.7 gilt die "Bodengleichung" gar nicht mehr.
Ab dann fügt sich doch der Zylinder an.

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\pi \cdot \int_{0}^{0,7} \! (\frac{1}{\sqrt{0,7}}\cdot \sqrt{x})² \, dx}_{\text{Blau}}+\underbrace{\pi\cdot 0.65}_{\text{Rosa}} \end{eqnarray*}$

Wir wollen ja das gesamte Volumen bis zur hälfte des Tanks ermitteln.
Der Tank setzt sich aus diesem Bodenstück und dem Zylinder zusammen. Dabei gilt der Zylinder erst aber einer Höhe von 0,7 und wir wollen ja das Volumen bis einer Höhe von 1,35 haben.

Das Volumen bis zu einer Höhe von 0,7 wird also mit der "Bodengleichung" ermittelt und die restlichen 0,65 (1,35-0.7) können ganz normal mit der Formel für das Volumen eines Zylinders ermittelt werden.

Schach noch einmal in deine Skizze.

Edit:

Hier die Skizze dazu. Die beiden farblich markierten Teile sind die Teilvolumen.

08.04.2014, 19:36

Cravour

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Achsooo, mit der "ganz normalen" Zylinderformel Big Laugh

. Dann klappts, komme auch
auf ~1550 Sekunden.

(Aber kann man das Volumen vom Zylinder nicht auch mit der Rotationsformel
berechnen... theoretisch?)

Zu d): Ich habe etwa 0,495 berechnet.

edit: Wo die Teilvolumen sind konnte ich mir bildlich schon vorstellen. Nur war mir
unklar, warum ich nicht in die Formel 0,7 bis 1,35 einsetzen kann...

08.04.2014, 19:49

Gast11022013

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Ja, das ginge schon. Aber nicht in einem Rutsch, falls du das meinst.
Um das Volumen des Zylinders mit der Rotationsformel darzustellen würdest du die Konstante mit der Gleichung y=1 rotieren lassen.

Dein Ergebnis der d) passt auch.

Zitat:

Nur war mir unklar, warum ich nicht in die Formel 0,7 bis 1,35 einsetzen kann...

Weil der Zylinder durch diese Funktionsgleichung nicht beschrieben wird. Der geht ja gerade nach oben. Die Funktionsgleichung sieht parabelartig aus.
Ich denke das ist jetzt aber klar, oder?

08.04.2014, 19:51

Cravour

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Jop, ist jetzt alles klar^^.

Dankeschön, Wink

08.04.2014, 19:51

Gast11022013

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Gern geschehen.

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