Abschnittsweise definierte Funktion erstellen

08.04.2014, 18:12

moclus

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Abschnittsweise definierte Funktion erstellen

Hallo Leute!

Es geht um die folgende Funktion (Bild):

Ich muss die Funktionsvorschrift für diese Funktion finden und danach eine Periode integrieren. Die Ausschläge nach unten, sollen Elongationen einer Sinuskurve sein.

Kann ich diese Funktion, abschnittsweise definieren? Das wäre mein erster Ansatz, doch dann muss ich das doch irgendwie unendlich weiterführen können?

Die Ausschläge erscheinen jeweils in 3er Schritten ab x = 6

08.04.2014, 19:49

Christian_P

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Hallo Du,

ja, die Abschnitte über elementare Funktionen zu beschreiben, ist die einzige Möglichkeit. Hast du eine Periode vollständig beschrieben und die Periodendauer ist bekannt, kannst Du die Funktion beliebig fortsetzen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das hast Du richtig erkannt. (Die kleinste Periode wählen).

Grüße

11.04.2014, 12:37

moclus

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Für die erste Periode hab ich die Funktionsvorschrift so aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} f_{0\leq x\leq 9}(x)=\begin{cases}<br /> 8, & \text{für }0\leq x\leq 6\text{ }\\<br /> 8+ 3\cdot \ sin(x), & \text{für }6\leq x\leq 9\text{ }<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

Ist die Amplitude so korrekt? 8 - 5 = 3

und wie könnte ich die Funktion beliebig weiterführen? verwirrt

verwirrt

11.04.2014, 12:58

klarsoweit

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Deine Funktion paßt nicht, denn offensichtlich ist sowohl 8 + 3*sin(6) ungleich 8 als auch 8 + 3*sin(9) ungleich 8. Und wenn ich die Graphik richtig interpretiere, müßte bei x=7,5 ein lokales Minimum, also sin(7,5)=-1 sein. smile

smile

11.04.2014, 13:23

moclus

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Die Werte für die Grafik hab ich mir natürlich aus den Fingern gesaugt - um es nur zu verstehen Big Laugh

Big Laugh

Ist mein Vorgehensweise denn trotzdem falsch, wie ich die Funktion aufgestellt hab? Die Amplitude und die Konstante +8.

11.04.2014, 13:39

klarsoweit

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Nun ja, ich weiß ja nicht, was dein Ziel ist. Die Amplitude mag ja stimmen, aber was hilft das, wenn der Rest nicht paßt. Du kannst ja deine Funktion in ein Graphikprogramm eingeben und schauen, ob du das erreichst, was du haben möchtest.

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11.04.2014, 13:46

moclus

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Also die Funktion soll eine Schwingung darstellen. Es kommt aus der Elektrotechnik, in diesem Fall (Mischspannung (Gleich- und Wechselspannung))

Vielleicht muss ich die Kreisfrequenz in der Sinusfunktion berücksichtigen verwirrt

verwirrt

11.04.2014, 13:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von moclus
Vielleicht muss ich die Kreisfrequenz in der Sinusfunktion berücksichtigen verwirrt

verwirrt

So ist es:

Die halbe Periodenlänge der Sinusfunktion $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ ist gleich $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , während du da die Länge 3 benötigst. Versuche es also mal stattdessen mit $\begin{eqnarray*} \sin(\omega x) \end{eqnarray*}$ mit einer geeignet gewählten Konstanten $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ , so dass du damit auf diese Länge 3 kommst!

11.04.2014, 14:20

moclus

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Klasse, ich denke ich habs verstanden!

Also:

$\begin{eqnarray*} f_{0\leq x\leq 9}(x)=\begin{cases}<br /> 8, & \text{für }0\leq x\leq 6\text{ }\\<br /> 8+ 3\cdot \ \sin(2 \pi \frac{1}{9s} \cdot x ), & \text{für }6\leq x\leq 9\text{ }<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

für:

$\begin{eqnarray*} x = 7,5 \end{eqnarray*}$
bekomm ich ungefähr 5,40. Die Skizze ist sehr ungenau. Doch ich denke, dass nun alles richtig ist smile

smile

Aber so hattest du das nicht gemeint oder?

11.04.2014, 14:37

klarsoweit

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So sieht jetzt der 2. Teil deiner Funktion aus:

Mir scheint, das paßt noch nicht so ganz.

11.04.2014, 14:43

moclus

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Nun, da ich die Skizze erstellt hab - und die Werte sehr grob sind. Denke ich nicht, dass ich genau auf 5 kommen werde, was die negative Amplitude betrifft.
Es sei denn ich hab da immer noch einen Fehler verwirrt

verwirrt

11.04.2014, 14:45

klarsoweit

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Skizze hin oder her. Wenn du an der Stelle 6 mit dem Wert 8 starten willst, kommt das so nicht hin.

11.04.2014, 15:01

moclus

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Stimmt ... aber die Funktion startet ja nicht bei 0. Deswegen hab ich die 8 davor genommen (Schnitt mit der Y-Achse).

Stehe nun auf dem Schlauch

11.04.2014, 15:41

klarsoweit

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Nun ja, was du brauchst, ist doch die negative Sinushalbkurve. Die gibt es bei sin(x) auf dem Intervall [pi; 2*pi] . Jetzt mußt du doch nur eine Gerade produzieren, die durch die Punkte (6; pi) und (9; 2*pi) geht und diese als Argument in den Sinus reinstecken. smile

smile

11.04.2014, 15:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von moclus
$\begin{eqnarray*} f_{0\leq x\leq 9}(x)=\begin{cases}<br /> 8, & \text{für }0\leq x\leq 6\text{ }\\<br /> 8+ 3\cdot \ \sin(2 \pi \frac{1}{9{\color{red}s}} \cdot x ), & \text{für }6\leq x\leq 9\text{ }<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

Wie groß ist denn dieses $\begin{eqnarray*} {\color{red}s} \end{eqnarray*}$ bei dir? Wenn du damit $\begin{eqnarray*} s = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ meinst, könnte es hinkommen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.04.2014, 15:54

moclus

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Ich soll eine Funktion, in eine Funktion stecken? Nur das ich es richtig verstanden habe smile

smile

@ HAL 9000: Das sollte die Einheit der Frequenz sein, aber danke für den Hinweis. Ich bin jetzt einwenig durcheinander. mit 1 /3 pi wäre es dann richtig?
Was ist nun mit dem Ansatz der Geraden? verwirrt

verwirrt

Edit2: Mit 1/3 pi bekomme ich aber nicht den X-Wert bei der negativen Amplitude. Für x = 7,5 bekomme ich da 11

Ich glaube immer noch, dass hier viele Werte einfach nicht passen werden. Da ich mir die Zahlen für das Koordinatensystem aus den Fingern gesaugt habe und alles nicht maßkonform ist.

In der Uni, hatte es bei den Mischspannungsfunktionen für den trigonometrischen Anteil mit:

$\begin{eqnarray*} P_y + \lambda \cdot \sin(\omega t ) \end{eqnarray*}$ funktioniert. Wobei $\begin{eqnarray*} P_y \end{eqnarray*}$ der Abschnitt mit der Y-Achse ist, und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ die Amplitude der Funktion.

Falls ich in meiner Gleichung nun keinen Fehler hab, dann wird es doch an der Skizze liegen, warum das nicht alles genau zutrifft oder?

11.04.2014, 16:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von moclus
Ich soll eine Funktion, in eine Funktion stecken? Nur das ich es richtig verstanden habe smile

smile

Wo ist das Problem? Du hast doch auch die Gerade $\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{2 \pi}{9} x \end{eqnarray*}$ in den Sinus reingesteckt. Was du brauchst, ist eben eine Gerade, die durch die richtigen (von mir genannten) Punkte läuft.

@HAL 9000: ich dachte, das s steht für die physikalische Einheit Sekunden.

11.04.2014, 16:08

moclus

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Ja, das s steht auch für die Sekunde.
Ich bin allmählich ziemlich durcheinander Big Laugh

Big Laugh

edit:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{2 \pi - \pi}{9 - 6} \cdot x = \frac{\pi}{3} \cdot x \Longrightarrow 3\cdot \sin(\frac{\pi}{3} \cdot x )+8 \end{eqnarray*}$

Wenn ich für den Sinus nun -7,5 einsetze. Komm ich tatsächlich auf die 5. Aber irgendwie wurde doch hier rumgetrickst oder? verwirrt

verwirrt

Die Funktion geht doch gar nicht unter die X-Achse.

Edit: Ich hab alles verstanden! Vielen Vielen Dank smile

smile

. -7,5 funktionert, weil die richtige Sinuskurve vom Ursprung aus betrachtet wurde .

14.04.2014, 09:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von moclus
$\begin{eqnarray*} y = \frac{2 \pi - \pi}{9 - 6} \cdot x = \frac{\pi}{3} \cdot x \end{eqnarray*}$

Wie man leicht nachrechnet, geht diese Gerade nicht durch die Punkte (6; pi) und (9; 2*pi). Richtig ist: $\begin{eqnarray*} y = \frac{\pi}{3} \cdot x - \pi \end{eqnarray*}$

Demzufolge muß es heißen: $\begin{eqnarray*} 3 \cdot sin(\frac{\pi}{3} \cdot x - \pi) + 8 \end{eqnarray*}$ smile

smile

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