Kommutative Gruppe bezüglich Matrixmultiplikation

08.04.2014, 18:41

onlyC

Kommutative Gruppe bezüglich Matrixmultiplikation

Meine Frage:
Hallo, ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
Man bestimme für k element Z die inverse Matrix zur Matrix M=
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und zeige, dass diese Matrizen eine Gruppe bilden.

Ein Kollege meinte die Gruppe ist nicht kommutativ, warum nicht?

Meine Ideen:
1. Assioziativität ist gegeben, weil

$\begin{eqnarray*} ( \begin{pmatrix} 1 & k_1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & k_2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}) \cdot \begin{pmatrix} 1 & k_3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & k_1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot (\begin{pmatrix} 1 & k_2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & k_3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Daher:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & (k_3+k_2)+k_1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & (k_3+(k_2+k_1)\\ 0 & 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

2. Neutrales Element $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A*E=E*A=A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

3. Inverse A^-1 ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A*A^-1*A=A^-1*A=E \end{eqnarray*}$

Analog wie Inverse

4. JETZT würde ich auch meinen:
Matrizen der Form M sind kommutativ sich selbst, weil:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & k_1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & k_2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & k_1+k_2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & k_2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & k_1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Deshalb ist es doch eine kommutative Gruppe oder nicht?

08.04.2014, 19:15

weisbrot

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RE: Kommutative Gruppe bezüglich Matrixmultiplikation

Zitat:

Deshalb ist es doch eine kommutative Gruppe oder nicht?

ja.

hier hatte übrigends jemand die gleiche aufgabe.

lg

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Kommutative Gruppe bezüglich Matrixmultiplikation

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