Funktionalgleichung des Arkustangens, Machinsche Formel und Reihenentwicklung

08.04.2014, 19:25

lagrange92

Funktionalgleichung des Arkustangens, Machinsche Formel und Reihenentwicklung

Meine Frage:
Ich will für $\begin{eqnarray*} \arctan x +\arctan y= \arctan \frac{x+y}{1-xy} \end{eqnarray*}$ folgern, aber ich komme mit dem Tipp ( Summensatz des Tangens anwenden) nur auf
Edit: $\begin{eqnarray*} \frac{x+ y}{1- xy} \end{eqnarray*}$ (*). Ich habe einfach den tan auf arctan(x)+arctan(y) angewendet und den Summensatz verwandt, würde man jetzt z.B. noch mal den arctan anwenden hätte man die Gleichung gezeigt.

Meine Ideen:
Jetzt frage ich mich halt, ob mein Ansatz grundlegend falsch ist, oder ob ich etwas übersehe, weil ich wüsste nicht, wie ich jetzt von (*) zu einem Ausdruck kommen soll, bei dem der arctan vor dem Bruch steht, ohne arctan noch einmal zu verwnden. Danke schon mal. smile

09.04.2014, 19:36

bijektion

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Was genau hast du denn jetzt gemacht?
Etwa so etwas: $\begin{eqnarray*} \tan{(\arctan{x}+\arctan{y})}=\dots =\frac{x+y}{1-x \cdot y} \end{eqnarray*}$ ?

10.04.2014, 10:20

lagrange92

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Ich hatte das erst so, habe aber gesehen, dass das so nicht sein darf, da habe ich dann $\begin{eqnarray*} \arctan (\tan(\arctan x +\arctan y)) \end{eqnarray*}$ betrachtet und habe dann den Summensatz auf den Tangens angwendet, was $\begin{eqnarray*} \arctan (\frac{x+y}{1-xy}) \end{eqnarray*}$ liefert. Das müsste doch so gehen, oder?

10.04.2014, 11:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von lagrange92
Ich will für $\begin{eqnarray*} \arctan x +\arctan y= \arctan \frac{x+y}{1-xy} \end{eqnarray*}$ folgern

Ohne Einschränkungen an $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ ist das i.a. falsch - Beispiel $\begin{eqnarray*} x=y=\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ :

Da ist $\begin{eqnarray*} \arctan(x)+\arctan(y) = 2\arctan(\sqrt{3}) = \frac{2}{3}\pi \end{eqnarray*}$ , während

$\begin{eqnarray*} \arctan\left( \frac{x+y}{1-xy} \right) = \arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{1}{3}\pi \end{eqnarray*}$

gilt.

10.04.2014, 13:17

Leopold

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Wenn man in

$\begin{eqnarray*} \tan \left( \arctan x + \arctan y \right) = \frac{x+y}{1-xy} \end{eqnarray*}$

für das Argument des Tangens

$\begin{eqnarray*} \text{(*)} \ \ - \frac{\pi}{2} < \arctan x + \arctan y < \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

voraussetzt, dann spielt sich alles in Intervallen ab, in denen der Tangens und der klassische Arcustangens Umkehrfunktionen voneinander sind. Man kann dann auf beiden Seiten den Arcustangens anwenden und erhält das Gewünschte:

$\begin{eqnarray*} \arctan x + \arctan y = \arctan \frac{x+y}{1-xy} \ \ \text{für} \ x,y \ \text{mit (*)} \end{eqnarray*}$

Die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ ist immer erfüllt, wenn $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ ist oder wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ verschiedene Vorzeichen besitzen. Denn dann haben auch die Arcustangenswerte verschiedene Vorzeichen und können in der Summe dem Betrage nach $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ nicht mehr erreichen. Der Fall $\begin{eqnarray*} xy \leq 0 \end{eqnarray*}$ ist damit klar, $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ gilt.

Somit bleibt noch der Fall $\begin{eqnarray*} xy > 0 \end{eqnarray*}$ zu behandeln. Nehmen wir an, daß $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ beide $\begin{eqnarray*} >0 \end{eqnarray*}$ sind. Dann ist die linke Ungleichung in $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ auf jeden Fall erfüllt, die rechte kann wegen $\begin{eqnarray*} \arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ äquivalent umgeformt werden

$\begin{eqnarray*} \arctan x + \arctan y < \arctan x + \arctan \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \arctan y < \arctan \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y < \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} xy < 1 \end{eqnarray*}$

Und wenn $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ beide $\begin{eqnarray*} <0 \end{eqnarray*}$ sind, ist die rechte Ungleichung in $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ von alleine erfüllt, und man schließt wegen $\begin{eqnarray*} \arctan x + \arctan \frac{1}{x} = - \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ für die linke:

$\begin{eqnarray*} \arctan x + \arctan \frac{1}{x} < \arctan x + \arctan y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \arctan \frac{1}{x} < \arctan y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} < y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} xy < 1 \end{eqnarray*}$

Schaut man sich alle Fälle an, so sieht man: Die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \text{(*)} \end{eqnarray*}$ gilt für $\begin{eqnarray*} xy<1 \end{eqnarray*}$ . Und für diese $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ gilt dann auch die Arcustangensformel. In einem kartesischen $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Koordinatensystem machen die Punkte $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} xy<1 \end{eqnarray*}$ gerade den Bereich zwischen den Ästen der Hyperbel $\begin{eqnarray*} xy=1 \end{eqnarray*}$ aus.

10.04.2014, 15:26

lagrange92

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