Herleitung schwache Form - 2 Wege - 2 Lösung

08.04.2014, 23:07

Vertor12

Herleitung schwache Form - 2 Wege - 2 Lösung

Meine Frage:
Hallo,

ich stehe vor folgendem Verständnisproblem:

Ich will die schwache Form einer Differentialgleichung herleiten, um sie in einem FEM-Programm zu verwenden (Comsol).
Die folgende Ableitung ist ein Minimalbeispiel für mein eigentliches Problem:

Es gilt: a, b sind Funktionen, die vektoriell vom Ort x abhängen.
Die bestimmende Gleichung soll lauten

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{b} \dfrac{\partial a}{\partial t} + \Delta a = 0 \end{eqnarray*}$ .

Hierbei ist $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ der Laplace-Operator.
Diese Gleichung sieht nach transienter Wärmeleitung aus, hat aber als solches keine tiefere Bedeutung.

Multiplizieren mit einer Testfunktion $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ mit anschließender Integration liefert:

$\begin{eqnarray*} \int_V \! (w \frac{1}{b} \frac{\partial a}{\partial t} + w\Delta a) \, dV = 0 \end{eqnarray*}$ .

Setzt man die Identität:

$\begin{eqnarray*} \nabla \cdot (w \nabla a) = \nabla w \cdot \nabla a + w \Delta a<br /> \end{eqnarray*}$

ein und wendet den Satz von Gauß an, dann erhält man:

$\begin{eqnarray*} \int_V \! w \frac{1}{b} \frac{\partial a}{\partial t} \, dV - \int_V \! \nabla w \cdot \nabla a \, dV <br /> + \int_A \! w \nabla a \cdot n \, dA = 0. \end{eqnarray*}$

Nun kommt der zweite Weg:

Multipliziert man die erste Gleichung einmal mit b durch, dann erhält man:

$\begin{eqnarray*} \dfrac{\partial a}{\partial t} + b \Delta a = 0. \end{eqnarray*}$

Multiplikation mit einer Testfunktion w und Integration über das Volumen liefert:

$\begin{eqnarray*} \int_V \! (w \frac{\partial a}{\partial t} + w b \Delta a) \, dV = 0. \end{eqnarray*}$

Mit der Identität
$\begin{eqnarray*} \nabla \cdot (w b \nabla a) = b \nabla w \cdot \nabla a + w \nabla b \cdot \nabla a + w \Delta a<br /> \end{eqnarray*}$

und dem Satz von Gauß landet man bei:

$\begin{eqnarray*} \int_V \! w \frac{\partial a}{\partial t} \, dV - \int_V \! b \nabla w \cdot \nabla a \, dV - \int_V \! w \nabla b \cdot \nabla a \, dV <br /> + \int_A \! w b \nabla a \cdot n \, dA = 0. \end{eqnarray*}$

Verwende ich nun keinerlei Neumann Randbedingungen, sondern nur Dirichlet Randbedingung für mein Problem, dann interessiert mich das Flächenintegral nicht und ich habe zwei unterschiedliche schwache Formen der DGL für das Feldproblem, obwohl ich anfangs nur eine Äquivalenzumformung getätigt habe.

Meine Ideen:
Ich nehme an, dass ich an einer Stelle unbewusster Weise eine mir unbekannte Regel verletze. Leider sehe ich nicht welche.

Bitte helft mir weiter!

Viele Grüße und vielen Dank,
Simon

08.04.2014, 23:44

Che Netzer

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Na dann hast du halt zwei Formulierungen. Dass sie nicht vollkommen gleich aussehen, heißt ja noch lange nicht, dass sie nicht äquivalent sind.

09.04.2014, 19:27

Vertor

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Danke Che Netzer für die Antwort!

Ich glaube nicht, dass die beiden Formulierungen identisch sind.

Vor allem der Gradient von b lässt mich in der zweiten Formulierung stutzig werden, denn:

Nehme wir an, dass die Gleichung einen stationären Zustand erreicht (da sollte immer möglich sein), und ich nur Dirichlet-Randbedingungen vorgebe, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial a}{\partial t} = 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \int_V w b\nabla a \cdot n dA = 0 \end{eqnarray*}$ .

Der obere Ausdruck lautet dann
$\begin{eqnarray*} \int_V \nabla w \nabla a dV = 0 \end{eqnarray*}$

und der Ausdruck von Weg 2:

$\begin{eqnarray*} \int_V \nabla (bw) \nabla a dV = 0 \end{eqnarray*}$ .

Daran sieht man eigentlich, dass die beiden Formen nicht identisch sind (ich könnte b ja o.B.d.A. die Zahl 2 zuweisen).

Ich sehe einfach meinen Fehler nicht.

Hat jemand eine Idee?

Viele Grüße,
Simon

09.04.2014, 19:32

Che Netzer

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Zitat:

Original von Vertor
Daran sieht man eigentlich, dass die beiden Formen nicht identisch sind (ich könnte b ja o.B.d.A. die Zahl 2 zuweisen).

Für konstantes $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ sind die Formulierungen doch offensichtlich äquivalent...

21.04.2014, 11:19

Vertor

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Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Vertor
Daran sieht man eigentlich, dass die beiden Formen nicht identisch sind (ich könnte b ja o.B.d.A. die Zahl 2 zuweisen).

Für konstantes $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ sind die Formulierungen doch offensichtlich äquivalent...

Mein Fehler... für ein konstantes b sind sie natürlich äquivalent.

Ich hab mich inzwischen etwas schlauer gemacht und ich denke ich hab die Antwort auf das Problem:

Vorausgesetzt die Funktion b ist gutartig genug, dann projeziere ich im zweiten Weg meine Lösung einfach auf den Raum der Testfunktionen $\begin{eqnarray*} w b \end{eqnarray*}$ . Dieser Raum entspricht sicherlich genau dem Raum der Testfunktionen w (falls b gutartig).

Denn im zweiten Weg sieht man, dass sich

$\begin{eqnarray*} \int_V \! w \frac{\partial a}{\partial t} - \nabla(wb)\nabla a \, dV + \int_A \! wb \nabla a \cdot n \, dA = 0 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} wb = \tilde{w} \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} \int_V \! \frac{\tilde{w}}{b} \frac{\partial a}{\partial t} - \nabla(\tilde{w})\nabla a \, dV + \int_A \! \tilde{w} \nabla a \cdot n \, dA = 0 \end{eqnarray*}$

ergibt, was wiederum mit der ersten Lösung übereinstimmt.

Also vielen Dank für die Denkanstöße!

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