Beweis für Bedingungen, damit Punkt Element Dreieck

09.04.2014, 00:55	ChrisJordan23	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis für Bedingungen, damit Punkt Element Dreieck Meine Frage: Zeigen sie, dass die folgenden Bedingungen für einen Punkt im Dreieck ABC gelten, wenn A der Stützpunkt und rAB und sAC die jeweiligen Richtungsvektoren sind: (1) 0 $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ r $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ 1 (2) 0 $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ s $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ 1 (3) 0 $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ r+s $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ 1 Meine Ideen: Ich habe mir das so überlegt, dass ich mir die Möglichkeiten betrachte, dass der Punkt nicht im Dreieck liegt. Zu (1) und (2): Negative Werte dürfen die Parameter nicht annehmen sowie Werte größer 1 ebenfalls nicht, da ich in diesem Fall das Dreieck in Richtung der Strecke AB für r und AC für s verlassen würde und sobald ein Parameter negativ oder größer eins ist, ist es unmöglich trotzdem im Dreieck zu landen. Zu (3): Ein weitere Möglichkeit, dass Dreieck zu verlassen ist es, indem mein Punkt über die Strecke BC "hinausragt". Für jeden Punkt der Strecke BC gilt, dass die Summe der Parameter 1 ist, wodurch die 3. Bedingung zustande kommt, denn mit einer größeren Summe würde ich die Strecke BC "überschreiten". Das ist aber leider mehr eine Erklärung als ein mathematischer Beweis, sodass ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt, auf die richtige Lösung zu kommen. Ich habe mir schon überleget die Strecke BC als allgemeine Gerade zu formulieren, bin da aber nicht wirklich weitergekommen. Danke im Voraus
12.04.2014, 00:33	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis für Bedingungen, damit Punkt Element Dreieck Da mir die (3) nicht so gegenwärtig war, ich dies aber gern bestätigen wollte, habe ich geraume Zeit daran getüftelt (ohne Spicken im Internet!) und mache nun ein Beweisangebot, dass für alle Punkte auf der Strecke BC gilt: r + s = 1. Da die Punkte innerhalb des Dreiecks aus Sicht von A diesseits von BC liegen, sollte sich die Ungleichung (3) dann als Schlußfolgerung ergeben. Damit ich mit Ortsvektoren rechnen kann, liege A im Koordinatenursprung. Die Punkte auf der Strecke BC haben die Koordinaten $\begin{eqnarray} \vec{B} +\lambda \vec{c} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0\leq \lambda \leq 1 \end{eqnarray}$ . Diese kann ich auch als Linearkombination $\begin{eqnarray} r\vec{a}+s\vec{b} \end{eqnarray}$ darstellen. Also gilt: $\begin{eqnarray} \vec{B} +\lambda \vec{c}=r\vec{a}+s\vec{b} \end{eqnarray}$ Zugleich gilt natürlich: $\begin{eqnarray} \vec{a} + \vec{c} -\vec{b} =\vec{0} \Rightarrow \vec{c}=\vec{b}-\vec{a} \end{eqnarray}$ Oben eingesetzt: $\begin{eqnarray} \vec{B} +\lambda \left(\vec{b}-\vec{a} \right) =r\vec{a}+s\vec{b} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r\vec{a}+s\vec{b}-\lambda \vec{b} +\lambda \vec{a} =\vec{B} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(r+\lambda \right) \vec{a} +\left(s-\lambda \right) \vec{b}=\vec{B} \end{eqnarray}$ Da ich A in den Ursprung gelegt habe, gilt aber: $\begin{eqnarray} \vec{B} =\vec{a} \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} \left(r+\lambda \right) \vec{a} +\left(s-\lambda \right) \vec{b}=\vec{a} \end{eqnarray}$ Somit müssen die beiden Gleichungen $\begin{eqnarray} r+\lambda =1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s-\lambda =0 \end{eqnarray}$ erfüllt sein. Also: $\begin{eqnarray} \lambda=1 - r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s - \left( 1 - r \right) =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow s + r = 1 \end{eqnarray}$ Hoffe, es ist auf dem Weg kein Zirkelschluß aufgetreten, ansonsten bitte melden. Grüße

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