Punktweise und gleichmäßige Konvergenz |
| 09.04.2014, 16:48 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Punktweise und gleichmäßige Konvergenz Huhu. 
Ich möchte folgende Funktionenfolge auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz untersuchen. Meine Ideen: Um diese Funktionenfolge auf punktweise Konvergenz zu testen, muss der Limes mit n gegen unendlich existieren, soweit ich das richtig verstanden habe. Dies habe ich getan und erhalte als Grenzwert -1. Doch nun weiß ich nicht, wie ich mit der gleichmäßigen Konvergenz fortfahren soll. |
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| 09.04.2014, 18:36 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo,
Für alle ? |
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| 09.04.2014, 18:43 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, ich meinte der Grenzwert ist -1. Richtig? |
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| 09.04.2014, 19:47 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich wiederhole meine Frage von oben nochmal: Gilt das für alle ? Oder vielleicht doch nur für einige? |
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| 09.04.2014, 19:49 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, weil x=2 bspw. gegen Null konvergiert. |
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| 09.04.2014, 20:14 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Rechne das bitte nochmal nach. Sorry, dass es hier nicht weitergeht, aber einfache Grenzwertberechnung sollte schon sitzen, wenn man sich mit Konvergenz von Funktionenfolgen befasst. |
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| 09.04.2014, 20:25 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist doch richtig oder nicht? |
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| 09.04.2014, 20:36 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das hängt sehr stark von ab. Für konvergiert nicht gegen 0. |
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| 09.04.2014, 20:40 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achja stimmt. Doch wie betrachte ich dann für x>1 den Grenzwert? Magst du mir da vielleicht auf die Sprünge helfen? |
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| 09.04.2014, 20:42 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dreh den Spieß einfach um. |
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| 09.04.2014, 20:47 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für den Tipp! Also zusammengefasst gesagt: Richtig? |
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| 09.04.2014, 21:03 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn das stimmt, habe ich ja die punktweise Konvergenz gezeigt. Nun eigentlich mein Hauptproblem: Wie bestimme ich nun die gleichmäßige Konvergenz? Gleichmäßige Konvergenz liegt vor, wenn gilt . Stimmt das? |
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| 09.04.2014, 21:18 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja ist richtig. Hattet ihr vielleicht schon Sätze zu gleichmäßiger Konvergenz, wie zB. gleichmäßige Grenzwerte stetiger Funktionen sind wieder stetig. Damit könnte man die gleichmäßige Konvergenz nämlich sehr schnell erledigen. |
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| 09.04.2014, 21:23 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, wir hatten den Satz, dass wenn die Funktionenfolge stetig ist und diese gleichmäßig gegen f konvergiert, dann ist die Grenzfunktion auch stetig. Nun weiß ich jedoch nicht, ob man auch sagen kann, dass wenn die Grenzfunktion nicht stetig ist (was ja hier der Fall wäre), die Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergiert. Aber ich vermute aufgrund deiner Frage, dass die möglich ist? |
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| 09.04.2014, 21:25 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jop genau so ist es. Die Grenzfunktion müsste ja bei angenommener gleichmäßiger Konvergenz stetig sein, was sie nicht ist, also ... |
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| 09.04.2014, 21:33 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank.
Bei einer weiteren Aufgabe () habe ich zwecks der punktweisen Konvergenz beim Limes folgendes raus: Habe ich es dort dieses Mal richtig gemacht? 
Und wenn ja, wie macht man es dort mit der gleichmäßigen Konvergenz, wenn die Grenzfunktion stetig ist? |
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| 09.04.2014, 21:39 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist richtig. Du kannst ja jetzt dein Kriterium anwenden. Bekommst du irgendwie raus, was für allgemeines ist? (Beispielsweise indem du auf Extrema untersuchst. |
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| 09.04.2014, 21:47 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Laut Extrema erhalte ich da für x = 0,5. Ist das üblich, dass man so den limes superior berechnet? Wobei ich ehrlich sagen muss, dass ich zwar weiß, dass der limes superior der größte Häufungspunkt ist, jedoch kann ich damit leider noch nicht "rechnen". |
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| 09.04.2014, 22:00 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es wird nicht der Limes superior gesucht, sondern das Supremum. Und 0.5 ist richtig. Was ist nun das Supremum für allgemeines n? |
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| 09.04.2014, 22:06 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achja, der Limes Superior war ja bei dem Konvergenzradius. Das Supremum ist 0,5, da es nicht von n abhängt. Und da dies nicht 0 ist, wie die gleichmäßige Konvergenz verlangt, ist auch diese Funktionenfolge nicht glm. konvergent. |
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| 09.04.2014, 23:13 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, x = 0.5 ist die STELLE, an der das Supremum angenommen wird, nicht das Supremum selbst. |
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| 10.04.2014, 11:38 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Supremum ist der y-Wert des Extrema? Wenn ja, wäre dies 0,25. Kann man die gleichmäßige Konvergenz nicht auch mit Hilfe des Satzes über die Stetigkeit zeigen, wie bei der letzten Aufgabe? |
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| 10.04.2014, 12:31 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Supremum ist aber nicht unabhängig von .
Nein, das geht hier nicht. Ich kann dir sagen, warum nicht, wenn wir die Aufgabe gelöst haben. |
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| 10.04.2014, 20:17 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich dann die Stelle 0,5 in die Ausgangsgleichung einsetze, erhalte ich das Supremum mit . So meinst du das? |
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