Orthogonale Projektion Abbildungsmatrix

09.04.2014, 17:33

alexschu

Orthogonale Projektion Abbildungsmatrix

Meine Frage:
Also ich habe folgende Aufgabe:
U ist ein Unterraum von R^3 mit Standardskalarprodukt und aufgespannt von
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
a) Bestimme ONB von U
b) Mithilfe dieser Basis Orthogonalprojektion auf U bzw. $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$ durch Abbildungsmatrix bzgl. kanonischer Basis bestimmen.
c) lineares Gleichungssystem mit Lösungsmenge U bzw. $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Ich komme bei b) gerade gar nicht weiter, da ich mir nicht sicher bin, ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe.

Meine Ideen:
So und jetzt meine Ansätze:
zu a) w1= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und w2 = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist die ONB von U. (über Gram-Schmidt berechnet)
zu b) w3 = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist die ONB von $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$ (über Gram-Schmidt und die Basis von U wurde mit e3 ergänzt.)
Die kanonische Basis von R^3 besteht ja aus e1,e2,e3. Bei der Projektion wird ja ein Vektor v $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ auf die Basis von U (bzw. $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$ ) abgebildet.
In der Übungsstunde haben wir noch folgende Hinweise bekommen:
v = <v,w1>w1 + <v,w2>w2 + <v,w3>w3 -> <v,w1>w1 + <v,w2>w2 (für R^3 -> U)
v = <v,w1>w1 + <v,w2>w2 + <v,w3>w3 -> <v,w3>w3 (für R^3 -> $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$ )
Leider kann ich damit gerade irgendwie nichts anfangen.

zu c) da ich noch nichtmal b gelöst habe, kann ich auch mit dieser Aufgabe nichts anfangen, jedoch hab ich auch hier ein Verständnisproblem. Ist mit Lösungsmenge U gemeint, dass ich dann die Basisvektoren davon rausbekomme, oder wie?

Ich hoffe ich habe alles verständlich aufgeschrieben!

10.04.2014, 13:47

Leopold

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Du kannst den kanonischen Basisvektor $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ als Linearkombination bezüglich $\begin{eqnarray*} w_1,w_2,w_3 \end{eqnarray*}$ schreiben:

$\begin{eqnarray*} e_1 = \lambda_1 w_1 + \lambda_2 w_2 + \lambda_3 w_3 \end{eqnarray*}$

Die Projektion $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ liefert dann

$\begin{eqnarray*} \pi(e_1) = \lambda_1 \pi(w_1) + \lambda_2 \pi(w_2) + \lambda_3 \pi(w_3) = \lambda_1 w_1 + \lambda_2 w_2 \end{eqnarray*}$

Und das ist schon die erste Spalte der gesuchten Abbildungsmatrix. Für die zweite und dritte Spalte der Matrix mußt du analog $\begin{eqnarray*} \pi(e_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \pi(e_3) \end{eqnarray*}$ ermitteln.

Um die Linearkombination oben zu finden, mußt du nichts anderes tun als die Vektoren $\begin{eqnarray*} e_1,w_1,w_2,w_3 \end{eqnarray*}$ einsetzen, in den drei Koordinaten vergleichen und das entstehende lineare Gleichungssystem in $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 \end{eqnarray*}$ lösen.
Etwas cleverer ist es jedoch, Skalarprodukte zu betrachten. Beginnen wir mit $\begin{eqnarray*} w_1 \end{eqnarray*}$ . Das sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \langle e_1 , w_1 \rangle = \left \langle \lambda_1 w_1 + \lambda_2 w_2 + \lambda_3 w_3 , w_1 \right \rangle = \lambda_1 \underbrace{\langle w_1,w_1 \rangle}_1 + \lambda_2 \underbrace{\langle w_2,w_1 \rangle}_0 + \lambda_3 \underbrace{\langle w_3,w_1 \rangle}_0 = \lambda_1 \end{eqnarray*}$

Du siehst, man kann $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ unmittelbar durch Berechnung eines Skalarprodukts erhalten.

10.04.2014, 19:25

alexschu

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Hallo Leopold,
erstmal vielen Dank für die ausführliche Antwort!

Ich habe jetzt folgende Dinge rausbekommen:
$\begin{eqnarray*} e_{1} = \frac{1}{\sqrt{3}}w_{1} -\frac{1}{\sqrt{2}}w_{2} - \frac{1}{\sqrt{6}}w_{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}w_{1} +\frac{1}{\sqrt{2}}w_{2} - \frac{1}{\sqrt{6}}w_{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}w_{1} + 0w_{2} + \frac{2}{\sqrt{6}}w_{3} \end{eqnarray*}$

Wenn ich dich richtig verstanden habe, muss ich die $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ja in die Abbildung einsetzen und bekomme dann folgende Matrix (das Ergebnis von $\begin{eqnarray*} \pi(e_{i}) \end{eqnarray*}$ sollen ja die Spalten der Matrix sein):
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{5}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{6} & \frac{5}{6} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dies ist dann die Abbildungsmatrix von der Projektion $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ auf U?

Wenn ich richtig schlussfolgere, sollte die Projektion $\begin{eqnarray*} \pi_{2} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} U^\perp \end{eqnarray*}$ folglicherweise (für e1):
$\begin{eqnarray*} \pi_{2}(e_1) = \lambda_1 \pi_{2}(w_1) + \lambda_2 \pi_{2}(w_2) + \lambda_3 \pi_{2}(w_3) =\lambda_3 w_3 \end{eqnarray*}$
sein.
Also wäre hier dann die Abbildungsmatrix:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?

10.04.2014, 19:50

Leopold

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Die erste Abbildungsmatrix stimmt. Die zweite habe ich nicht überprüft. Es wird wohl schon auch stimmen.

10.04.2014, 20:41

alexschu

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Okay, super. Nochmals vielen Dank für deine Hilfe.
Bei der c) ist mir mittlerweile auch ein Licht aufgegangen, also hat sich dies auch erledigt.

01.07.2014, 03:03

physirius

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Hallo, ich bin gerade an der gleichen Aufgabe, aber ich verstehe nicht, was man für À(w1), À(w2) und À(w3) einsetzen muss.

01.07.2014, 21:29

alexschu

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Zitat:

Original von physirius
Hallo, ich bin gerade an der gleichen Aufgabe, aber ich verstehe nicht, was man für À(w1), À(w2) und À(w3) einsetzen muss.

Was meinst du mit A(w1) usw.?

02.07.2014, 00:58

physirius

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Mein Pi hat sich in ein A umgewandelt. Sorry. Ich meine Pi(w1) etc. , wie man auf die landa`s kommt, habe ich verstanden.

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