Gleichung des Bildes des Einheitskreises unter einer Matrix

09.04.2014, 18:16

onlyC

Gleichung des Bildes des Einheitskreises unter einer Matrix

Meine Frage:
Hallo, ich habe folgende Aufgabe zu lösen:
"Man bestimme die Gleichung des Bildes des Einheitskreises unter der Matrix
$\begin{eqnarray*} M= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Hinweis: Die Bildmenge besteht aus denjenigen Punkten in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ welche unter $\begin{eqnarray*} M^{-1} \end{eqnarray*}$ auf den Einheitskreis abgebildet werden."

Leider verstehe ich die Angabe nicht.

Meine Ideen:
Ich habs mir so gedacht: Ich suche die Matrix A(2x2), die jene Elipse darstellt, welche mit $\begin{eqnarray*} M^{-1} \end{eqnarray*}$ multipliziert die Drehmatrix ergibt.
also so:
$\begin{eqnarray*} A*M^{-1}=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos(a) & -sin(a) \\ sin(a) & cos(a) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ODER

Der Vektor $\begin{eqnarray*} x' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} M^{-1} \end{eqnarray*}$ multipliziert ergibt $\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} cos(x) \\ sin(x) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder sind beide Ideen falsch?

09.04.2014, 19:32

Leopold

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Es ist alles viel einfacher, als du denkst.

Nehmen wir $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Urbild- und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Bildvektor. Dann regelt die Beziehung $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = M \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ alles. Besser ist hier noch ihre Umkehrung

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = M^{-1} \cdot \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt mußt das nur ausrechnen, $\begin{eqnarray*} x = g(u,v) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = h(u,v) \end{eqnarray*}$ aus den Koordinaten extrahieren und in $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray*}$ einsetzen. Schon hast du die gesuchte Beziehung zwischen $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ .

09.04.2014, 20:03

onlyC

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Danke für die Antwort, Leopold!

Was ist $\begin{eqnarray*} x = g(u,v) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = h(u,v) \end{eqnarray*}$ ?

Ich habe:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u-2v \\ v \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} (u-2v)^2+v^2=1 \end{eqnarray*}$

09.04.2014, 20:14

Leopold

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So ist's richtig.

Zitat:

Original von onlyC
$\begin{eqnarray*} {\underbrace{(u-2v)}_{\color{red} g(u,v)}}^2+{\underbrace{v}_{\color{red} h(u,v)}}^2=1 \end{eqnarray*}$

09.04.2014, 20:34

onlyC

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Und das ist dann die gesuchte Gleichung?

09.04.2014, 20:42

Leopold