Konvergenzradius

09.04.2014, 19:36

Lynn2

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Konvergenzradius

Meine Frage:
Guten Abend.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^ \infty \frac{-1^n}{n!} \cdot (\frac{n}{e})^n \cdot x^{n} \end{eqnarray*}$

Von dieser Potenzreihe soll der Konvergenzradius bestimmt werden.

Meine Ideen:
Ich wollte den Konvergenzradius mit Hilfe des Quotientenkriteriums bestimmen:

$\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty } | \frac{(n+1)^{n+1} \cdot n! \cdot e^n}{n^n \cdot (n+1)! \cdot e^{n+1}} | } = \frac{1}{\lim_{n \to \infty } | \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n \cdot (n+1) \cdot e^{1}} | } \end{eqnarray*}$

Doch nun komme ich nicht weiter...
Ich würde mich sehr freuen, wenn ihr mir helfen könntet.

09.04.2014, 19:39

HAL 9000

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Meinst du nicht eher $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ dort im Zähler? verwirrt

verwirrt

Schließlich ist $\begin{eqnarray*} -1^n = -(1^n) = -1 \end{eqnarray*}$ .

09.04.2014, 19:46

Lynn2

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Das habe ich gleich weggelassen, da es ja durch den Betrag entfällt.

09.04.2014, 20:02

Leopold

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Wenn du es weggelassen hättest, wäre es ja jetzt nicht mehr da. Es ist aber noch da, womöglich auch noch in falscher Form.

Der Sinn deiner Aussage erschließt sich mir nicht ganz. verwirrt

verwirrt

09.04.2014, 20:07

Lynn2

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Häää? Ich habe es von Anfang an zwecks des Betrages nicht betrachtet. Und meine Gleichung enthält dieses (-1)^n nicht, auch nicht in der Form (-1)^n+1.

$\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n+1}}{a_n} | } \end{eqnarray*}$
Dies steckt hinter meiner Formulierung, wobei

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{-1^n}{n!} \cdot (\frac{n}{e})^n \end{eqnarray*}$ , aber das -1 habe ich bei der obigen Gleichung schon weggelassen wegen des Betrages beim Limes.

09.04.2014, 20:27

HAL 9000

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"Häää?" ist deplatziert
Ich sprach von der Originalreihe, NICHT von den dann eingesetzten Werten in die Konvergenzradiusformel (für letztere ist es tatsächlich dann unerheblich ist, ob das merkwürdige $\begin{eqnarray*} -1^n \end{eqnarray*}$ oder aber $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ in der Reihendefinition steht).

Aber entschuldige die Störung, ich bin dann besser weg.

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09.04.2014, 20:37

Lynn2

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Ach das meintet ihr, mir war völlig unschlüssig was gemeint war. Deswegen auch das "hä". Welches keineswegs böse gemeint war! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich meinte natürlich:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^ \infty \frac{(-1)^n}{n!} \cdot (\frac{n}{e})^n \cdot x^{n} \end{eqnarray*}$

10.04.2014, 09:09

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von Lynn2
Doch nun komme ich nicht weiter...
Ich würde mich sehr freuen, wenn ihr mir helfen könntet.

Wie sieht es nun mit dem Konvergenzradius aus? Du könntest ein (n+1) kürzen und dich dann nach einem einschlägig bekannten Grenzwert umsehen. smile

smile

10.04.2014, 20:21

Lynn2

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RE: Konvergenzradius
$\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty } | \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n \cdot (n+1) \cdot e^{1}} | } = \frac{e}{ \lim_{n \to \infty } | \frac{(n+1)^{n}}{n^n} | } = \frac{e}{ \lim_{n \to \infty } (\frac{(n+1)}{n})^n } = e \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig? Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.04.2014, 08:52

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius
Was ist denn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{n+1}{n})^n \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.04.2014, 19:15

Lynn2

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RE: Konvergenzradius
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{n+1}{n})^n = 1 \end{eqnarray*}$

11.04.2014, 19:19

Math1986

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von Lynn2
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{n+1}{n})^n = 1 \end{eqnarray*}$

Nein. Es wäre gut, wenn du solche Aussagen auch begründen würdest.

Ich erinnere nur mal an die Definition der Exponentialfunktion.

11.04.2014, 19:20

Gast11022013

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von Lynn2
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{n+1}{n})^n = 1 \end{eqnarray*}$

Nein. Vielleicht hilft es dir ja, wenn man es umschreibt:

$\begin{eqnarray*} lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{eqnarray*}$

Edit: Okay, das hat sich jetzt überschnitten. Der Beitrag kann gelöscht werden.
Wink

Wink

12.04.2014, 20:31

Lynn2

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RE: Konvergenzradius
Die Exponentialfunktion hat den Konvergenzradius unendlich. Forum Kloppe

Forum Kloppe

13.04.2014, 15:44

Math1986

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von Lynn2
Die Exponentialfunktion hat den Konvergenzradius unendlich. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Ich habe nach der Definition der Exponentialfunktion gefragt, nicht nach ihrem Konvergenzradius.

Wie ist die Exponentialfunktion denn definiert? Fällt dir da in Verbindung mit obigem Term vielleicht etwas auf?

14.04.2014, 08:40

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von Lynn2
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{n+1}{n})^n = 1 \end{eqnarray*}$

Vielleicht ist dir schon mal die Bernoullische Ungleichung begegnet. Für a > -1 gilt: $\begin{eqnarray*} (1 + a)^n \geq 1+ n \cdot a \end{eqnarray*}$

Demzufolge gilt: $\begin{eqnarray*} (\frac{n+1}{n})^n = (1 + \frac{1}{n})^n \geq 1 + n \cdot \frac 1 n = 2 \end{eqnarray*}$ , wodurch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{n+1}{n})^n = 1 \end{eqnarray*}$ ausgeschlossen ist.

Vielleicht klingelt es nun langsam, was das für ein Grenzwert ist. smile

smile

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