Bild beschränkter Mengen unter stetiger Funktion beschränkt

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Bocks Auf diesen Beitrag antworten »
Bild beschränkter Mengen unter stetiger Funktion beschränkt
Es ist f : R -> R eine stetige
funktion die auf einer beschränkte menge def. ist
zeige f ist beschränkt

beweis durch wiederspruch
angenommen f sei unbeschränkt
dann gibt ein y mit f(y)=unendlich
es gibt auch eine konvergete teilmenge xnk mit k gegen unendlich xnk=y gilt
es gilt wegen stetigkeit f(xnk)=f(y)
wiederspruch

passt das so?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ist, dann ist f ja gar nicht auf einer beschränkten Menge definiert, sondern auf (und diese Menge ist bekanntlich unbeschränkt).

Zitat:
Original von Bocks
angenommen f sei unbeschränkt
dann gibt ein y mit f(y)=unendlich

geschockt
Wer erzählt denn sowas? Alle Funktionswerte sind doch reelle Zahlen, da kann doch nicht sein.
Du musst dir nochmal angucken, wann eine Funktion unbeschränkt ist.
Bocks Auf diesen Beitrag antworten »

zuschnell gehandelt
also Es ist f : R -> R eine stetige
funktion und M eine beschränkte teilmenge von R
zeigen das gilt f(M) beschränkt
ich muss ziegen das f(x)<unendlich?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst das genauer formulieren. Weil alle Funktionswerte reell sind, gilt sowieso für alle .
Bocks Auf diesen Beitrag antworten »

also es ist zuzeigen das f(x)<c für alle x aus M gilt?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Und was ist jetzt auf einmal c?
 
 
Bocks Auf diesen Beitrag antworten »

c ist eine reelle zahl
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich solltest du sowas schreiben:
.

D.h. .

Du nimmst also an, dass f(M) unbeschränkt ist. Man kann das, was ich oben geschrieben habe, auch etwas anders formulieren: Aus der Beschränktheit folgt:

Weißt du, wie man jetzt weiter machen könnte?
Bocks Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 10001000Nick1
Eigentlich solltest du sowas schreiben:
.

D.h. .

Du nimmst also an, dass f(M) unbeschränkt ist. Man kann das, was ich oben geschrieben habe, auch etwas anders formulieren: Aus der Beschränktheit folgt:

Weißt du, wie man jetzt weiter machen könnte?


1. ansatz:
yn sei element von der beschränkten menge M
->yn konvergiert gegen x0
da f stetig ist gilt f(yn)=f(x0) und das doch der wiederspruch zu der annahme f(m) ist unbeschränkt


2. ansatz:
f hat auf einen kompakten intervall immer ein maximum und minimum sprich beschränkt
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bocks
1. ansatz:
yn sei element von der beschränkten menge M

Ich habe doch geschrieben .

Zitat:
Original von Bocks
2. ansatz:
f hat auf einen kompakten intervall immer ein maximum und minimum sprich beschränkt

Du weißt doch aber nicht, ob M kompakt ist. Es ist nur die Beschränktheit von M vorausgesetzt. Zur Kompaktheit fehlt aber noch die Abgeschlossenheit.


Wegen der Definition der ist die Folge unbeschränkt.
Jetzt nehmen wir eine Folge mit für alle .

Was weißt du jetzt über die Folge ?
Bocks Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 10001000Nick1
[quote]Original von Bocks

Was weißt du jetzt über die Folge ?

die teilfolge von xn konvergiert also xnk konvergiert gegen xo
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt nicht "die" Teilfolge von .

ist also eine konvergente Teilfolge von .
Warum gibt es überhaupt eine konvergente Teilfolge von ?
Bocks Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 10001000Nick1
Es gibt nicht "die" Teilfolge von .

ist also eine konvergente Teilfolge von .
Warum gibt es überhaupt eine konvergente Teilfolge von ?

Satz von Bolzano-Weierstraß
insgesamt folgt wegen stetigkeit von f(xn) und das xnk gegen x0 konvergiert dass f(xn)=f(x0)=y
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Was machst du denn da?

ist keine Funktion, wie soll das stetig sein? f ist stetig!

Und wieso sollte sein?
Und was ist y?
Bocks Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 10001000Nick1
Was machst du denn da?

ist keine Funktion, wie soll das stetig sein? f ist stetig!

Und wieso sollte sein?
Und was ist y?


hmm keine ahnung wie ich es weiter machen soll?
ich dachte halt der lim f(xn)=f(x0)

mach wir langsam
also wir wissen xn hat eine konvergierte teilfolge wegen Bolzano
wie mache ich weiter?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

muss ja gar nicht konvergieren, deswegen muss auch nicht existieren.

Du weißt nur, dass es eine konvergente Teilfolge gibt (wie du sagtest, wegen Bolzano-Weierstraß), .

Jetzt gilt wegen der Stetigkeit:

Außerdem war ja unbeschränkt. Jetzt ist auch jede Teilfolge von unbeschränkt. Außerdem ist ja .


So, jetzt musst den Beweis noch ergänzen (auch oben die ... ) bzw. den Widerspruch finden.
Ist jetzt wirklich nicht mehr schwer. smile
Bocks Auf diesen Beitrag antworten »

limf(xnk)=f(x0)=lim ynk d.h der lim ynk existiert wiederspruch da ynk unbeschränkt ist so?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich denke, du meinst das richtige (auch wenn man das schöner aufschreiben könnte, u.a. mit dem Formeleditor).

Nochmal mit Erklärungen:
wegen der Stetigkeit von f.

Jetzt ist aber jede Teilfolge von unbeschränkt, kann also nicht konvergieren.
Oben hatten wir aber , also wäre das ja eine konvergente Teilfolge.
Und das ist der Widerspruch.

Alles klar?
Bocks Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank für deine hilfe smile Wink
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