Bild beschränkter Mengen unter stetiger Funktion beschränkt |
09.04.2014, 22:37 | Bocks | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bild beschränkter Mengen unter stetiger Funktion beschränkt funktion die auf einer beschränkte menge def. ist zeige f ist beschränkt beweis durch wiederspruch angenommen f sei unbeschränkt dann gibt ein y mit f(y)=unendlich es gibt auch eine konvergete teilmenge xnk mit k gegen unendlich xnk=y gilt es gilt wegen stetigkeit f(xnk)=f(y) wiederspruch passt das so? |
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09.04.2014, 22:42 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn ist, dann ist f ja gar nicht auf einer beschränkten Menge definiert, sondern auf (und diese Menge ist bekanntlich unbeschränkt).
Wer erzählt denn sowas? Alle Funktionswerte sind doch reelle Zahlen, da kann doch nicht sein. Du musst dir nochmal angucken, wann eine Funktion unbeschränkt ist. |
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09.04.2014, 22:48 | Bocks | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
zuschnell gehandelt also Es ist f : R -> R eine stetige funktion und M eine beschränkte teilmenge von R zeigen das gilt f(M) beschränkt ich muss ziegen das f(x)<unendlich? |
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09.04.2014, 22:52 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du musst das genauer formulieren. Weil alle Funktionswerte reell sind, gilt sowieso für alle . |
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09.04.2014, 22:54 | Bocks | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also es ist zuzeigen das f(x)<c für alle x aus M gilt? |
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09.04.2014, 22:57 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und was ist jetzt auf einmal c? |
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09.04.2014, 23:01 | Bocks | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
c ist eine reelle zahl |
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09.04.2014, 23:14 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eigentlich solltest du sowas schreiben: . D.h. . Du nimmst also an, dass f(M) unbeschränkt ist. Man kann das, was ich oben geschrieben habe, auch etwas anders formulieren: Aus der Beschränktheit folgt: Weißt du, wie man jetzt weiter machen könnte? |
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09.04.2014, 23:24 | Bocks | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1. ansatz: yn sei element von der beschränkten menge M ->yn konvergiert gegen x0 da f stetig ist gilt f(yn)=f(x0) und das doch der wiederspruch zu der annahme f(m) ist unbeschränkt 2. ansatz: f hat auf einen kompakten intervall immer ein maximum und minimum sprich beschränkt |
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09.04.2014, 23:30 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe doch geschrieben .
Du weißt doch aber nicht, ob M kompakt ist. Es ist nur die Beschränktheit von M vorausgesetzt. Zur Kompaktheit fehlt aber noch die Abgeschlossenheit. Wegen der Definition der ist die Folge unbeschränkt. Jetzt nehmen wir eine Folge mit für alle . Was weißt du jetzt über die Folge ? |
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09.04.2014, 23:41 | Bocks | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
die teilfolge von xn konvergiert also xnk konvergiert gegen xo |
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09.04.2014, 23:43 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es gibt nicht "die" Teilfolge von . ist also eine konvergente Teilfolge von . Warum gibt es überhaupt eine konvergente Teilfolge von ? |
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09.04.2014, 23:49 | Bocks | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Satz von Bolzano-Weierstraß insgesamt folgt wegen stetigkeit von f(xn) und das xnk gegen x0 konvergiert dass f(xn)=f(x0)=y |
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09.04.2014, 23:54 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was machst du denn da? ist keine Funktion, wie soll das stetig sein? f ist stetig! Und wieso sollte sein? Und was ist y? |
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10.04.2014, 00:00 | Bocks | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm keine ahnung wie ich es weiter machen soll? ich dachte halt der lim f(xn)=f(x0) mach wir langsam also wir wissen xn hat eine konvergierte teilfolge wegen Bolzano wie mache ich weiter? |
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10.04.2014, 00:17 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
muss ja gar nicht konvergieren, deswegen muss auch nicht existieren. Du weißt nur, dass es eine konvergente Teilfolge gibt (wie du sagtest, wegen Bolzano-Weierstraß), . Jetzt gilt wegen der Stetigkeit: Außerdem war ja unbeschränkt. Jetzt ist auch jede Teilfolge von unbeschränkt. Außerdem ist ja . So, jetzt musst den Beweis noch ergänzen (auch oben die ... ) bzw. den Widerspruch finden. Ist jetzt wirklich nicht mehr schwer. |
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10.04.2014, 00:27 | Bocks | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
limf(xnk)=f(x0)=lim ynk d.h der lim ynk existiert wiederspruch da ynk unbeschränkt ist so? |
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10.04.2014, 00:33 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, ich denke, du meinst das richtige (auch wenn man das schöner aufschreiben könnte, u.a. mit dem Formeleditor). Nochmal mit Erklärungen: wegen der Stetigkeit von f. Jetzt ist aber jede Teilfolge von unbeschränkt, kann also nicht konvergieren. Oben hatten wir aber , also wäre das ja eine konvergente Teilfolge. Und das ist der Widerspruch. Alles klar? |
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10.04.2014, 00:38 | Bocks | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
vielen dank für deine hilfe |
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