Integralrechnung

09.04.2014, 22:42

Artorius

Integralrechnung

Meine Frage:
Hallo liebe Leute,
ich habe ein kleine Verständnisfrage zum Thema der Integralrechnung und hoffe hier vlt. eine Antwort darauf zu finden^^

Also: Als Bsp. die Formel für die Beschleunigung a=dv/dt (dv,dt weil man ein unendlich gegen 0 laufendes Intervall betrachtet)und a ist konst.

Stelle nach dv für Geschwindigkeit um..... dv=a*dt und integriere nun um v zu erhalten => ?dv=?a*dt => v2-v1=a*t

Jetzt zu meinem Problem: Warum wird etwas, was unendlich gegen 0 läuft durch integrieren nicht mehr so klein oder anders: warum wird aus dem sehr kleinen dv,dt ein v,t ??? Und warum integriere ich auf der einen Seite ?dv nach der Geschwindigkeit, obwohl die Geschwindigkeit von der Zeit abhängt oder nicht??? Warum denn überhaupt integrieren, wenn ich doch mit der Gleichung dv=dt*a auch eine Geschwindigkeit berechnen kann (wenn auch eine sehr kleine)???

Ich hab da einfach so ein Logik-Problem mit dieser Sache und würde mich über ein wenig Hilfe ehr freuen und schonmal danke im voraus smile

Meine Ideen:
Ich denke, dass es jetzt keine so große Rolle spielt ob es sich um ein bestimmtes oder unbestimmtes Integral handelt.

10.04.2014, 08:57

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Integralrechnung
Rein formal steckt hinter dem Ganzen der Hauptsatz der Differential- und Integralrechung:

Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), dann gilt: $\begin{eqnarray*} \int_{x_1}^{x_2} f(x) ~dx = F(x_2) - F(x_1) \end{eqnarray*}$

Angewandt auf dein Beispiel mit $\begin{eqnarray*} v' = \frac{dv}{dt} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \int_{t_1}^{t_2} v'(t) ~dt = v(t_2) - v(t_1) \end{eqnarray*}$

Mit v'(t) = a und $\begin{eqnarray*} v_1 := v(t_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 := v(t_2) \end{eqnarray*}$ haben wir also:

$\begin{eqnarray*} \int_{t_1}^{t_2} v'(t) ~dt = \int_{t_1}^{t_2} a ~dt = a \cdot t_2 - a \cdot t_1 = a \cdot \Delta t = v_2 - v_1 \end{eqnarray*}$

Zu dem gleichen Ergebnis kommt man auch, wenn man die Gleichung $\begin{eqnarray*} dv = a \cdot dt \end{eqnarray*}$ integriert. Dabei muß man aber das "dt" von t_1 bis t_2 und das "dv" von v_1 bis v_2 integrieren:

$\begin{eqnarray*} \int_{v_1}^{v_2} ~dv = \int_{t_1}^{t_2} a ~dt \end{eqnarray*}$

Diese Tatsache motiviert quasi die Gültigikeit des Verfahrens, daß man die Gleichung $\begin{eqnarray*} a = \frac{dv}{dt} \end{eqnarray*}$ nach "dv" umstellt und dann integriert.
smile

10.04.2014, 11:56

Artorius

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja super vielen Dank für die Antwort.
Was mir aber noch nicht so recht in den Kopf will ist die Tatsache:

Für mich hat dv, dt eine messbare Größe, auch wenn sie gegen Null strebt und ich verstehe dann nicht warum dv, dt dann nur dafür benutzt werden um zu zeigen nach welchen Variablen zu integrieren sei. Was passiert mit diesem dv, dt bei der Integration dann??? Ich denke mir das dann auch so, dass dv dennoch eine Geschwindigkeit angibt (nur sehr klein) und wenn ich dv integriere müsste ich doch den Weg/Strecke erhalten oder nicht????

Sry, aber das verstehe ich irgendwie nicht so ganz oder habe einfach nur einen DUMMEN Denkfehler^^ Hammer

Nochmals vielen Dank

10.04.2014, 12:48

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Artorius
Für mich hat dv, dt eine messbare Größe, auch wenn sie gegen Null strebt

Ich würde dahinter keine messbaren Größen sehen, sondern nur die abkürzende Schreibweise für einen mathematischen Sachverhalt. Bei der Ableitung muß man eben sagen, nach welcher Variablen eine Funktion abgeleitet werden soll. Umgekehrt muß man auch bei der Integration sagen, nach welcher Variablen zu integrieren ist. Sicherlich ist die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \frac{dv}{dt} \end{eqnarray*}$ aus der Herkunft der Ableitung aus dem Differenzenquotienten $\begin{eqnarray*} \frac{\Delta v}{\Delta t} \end{eqnarray*}$ motiviert. Aber man hätte auch als Symbol für die Ableitung $\begin{eqnarray*} v \overline{\oplus} t \end{eqnarray*}$ nehmen können. Denn es geht - wie gesagt - lediglich um eine Schreibweise.

Neue Frage »

Antworten »

Integralrechnung

Verwandte Themen