Lagrange

09.04.2014, 23:25

Tipso

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Lagrange

Hallo,

Funktioniert hier leider nicht, da ich dieses $\begin{eqnarray*} + 20x_1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ habe.

Die Produktionsfunktion eines Unternehmens:

$\begin{eqnarray*} F(x_1,x_2) = 89x_1^2 + 20x_1x_2 + 89x_2^2 \end{eqnarray*}$

Die Kosten der Produktionsfaktoren betragen pro Mengeneinheit 33 bzw. 14 Geldheinheiten. Vom Endprodukt sollen 5512 Mengeneinheiten gefertig werden.

Es existiert eine lokale Extremstelle unter dieser Nebenbedingung.
Wie hoch sind in dieser die Kosten?

NB: $\begin{eqnarray*} 33x_1 + 14x_2 = 5512 \end{eqnarray*}$

09.04.2014, 23:32

Dopap

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also, Lagrange funktioniert nicht . verwirrt

verwirrt

könntest du darlegen , warum das so sein soll.

09.04.2014, 23:44

Tipso

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Wenn ich nun partiell auf x_1 bzw. x_2 integriere:

$\begin{eqnarray*} 2*89 x_1 + 20x_2 = 33\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2*89 x_2 + 20x_1 = 14\lambda \end{eqnarray*}$

für mich geht es hier nicht mehr weiter ..

09.04.2014, 23:52

Dopap

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wie sieht denn der Ansatz nach Lagrange aus und was sind die notwendigen Bedingungen ?

10.04.2014, 00:08

Tipso

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Bei den Bedingungen bin ich überfragt. verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} L(\lambda,x_2 ,\lambda) = 89x_1^2 + 20x_1x_2 + 89x_2^2 - \lambda\left(x_1+x_2 - 5512\right) x_1^2 + 20x_1x_2 \end{eqnarray*}$

10.04.2014, 00:18

Dopap

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Woher stammt das ???

Ich würde sagen:

$\begin{eqnarray*} L(x_1,x_2 ,\lambda) = 89x_1^2 + 20x_1x_2 + 89x_2^2 - \lambda\left(33x_1+14x_2 - 5512\right) \end{eqnarray*}$

und die notwendigen Bedingungen sind, dass die drei partiellen Ableitungen Null sind.

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10.04.2014, 00:21

Tipso

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Sry,

War am zusammenbastel der Funktion, mein Computer ist abgestürzt bzw. Mozille um genau zu sein.

Dann muss ich noch auf Lamda ableiten, normalerweiße berechne ich es immer ohne, da es ja wegfällt wenn ich die Ableitung von x_1 durch die von x_2 dividiere.

$\begin{eqnarray*} -33x_1-14x_2+ 5512 \end{eqnarray*}$

10.04.2014, 00:37

Tipso

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hmm,

Ich kann nun auf eine der Variablen umformen und in eine der anderen zwei Gleichungen einsetzen um eine Variable daraus zu erreichnen. verwirrt

verwirrt

10.04.2014, 00:44

Dopap

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Zitat:

Original von Tipso

Dann muss ich noch auf Lamda ableiten, normalerweiße berechne ich es immer ohne, da es ja wegfällt wenn ich die Ableitung von x_1 durch die von x_2 dividiere.

sehr abenteuerlich Ritt durch die Algebra !!!!

Bleiben wir mal auf dem Teppich.

Es bleiben 3 Gleichungen in 3 Variablen. Die gilt es zu lösen.

10.04.2014, 00:57

Tipso

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$\begin{eqnarray*} 2*89 x_1 + 20x_2 = 33\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2*89 x_2 + 20x_1 = 14\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -33x_1-14x_2+ 5512 \end{eqnarray*}$

-------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} -33x_1-14x_2+ 5512 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = -0.42x_2 +167 \end{eqnarray*}$

setze ich nun in eine der oberen Gleichungen ein und berechne dadurch x_2

Soweit mein Ansatz.

10.04.2014, 18:49

Dopap

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1.) $\begin{eqnarray*} 2*89 x_1 + 20x_2 = 33\lambda \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} 2*89 x_2 + 20x_1 = 14\lambda \end{eqnarray*}$

3.) $\begin{eqnarray*} -33x_1-14x_2+ 5512 =0 \end{eqnarray*}$

-------------------------------------------------------------------

3.) $\begin{eqnarray*} -33x_1-14x_2+ 5512 =0 \end{eqnarray*}$

3.) $\begin{eqnarray*} x_1 = -0.42424x_2 +167.03 \end{eqnarray*}$

Zitat:

setze ich nun in eine der oberen Gleichungen ein und berechne dadurch x_2

Soweit mein Ansatz.

ja, aber $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ in 1.) und in 2.) einsetzen ----> 2 Gleichungen mit $\begin{eqnarray*} x_2, \lambda \end{eqnarray*}$

10.04.2014, 19:53

Tipso

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1.) $\begin{eqnarray*} 2*89( -0.42x_2 +167) + 20x_2 = 33\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -54.76x_2 + 29726 = 33\lambda \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} 2*89 x_2 + 20*( -0.42x_2 +167) = 14\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 169.6x_2 +3340 = 14\lambda \end{eqnarray*}$

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \lambda = 473.804 \end{eqnarray*}$

Falls dies stimmt, trage ich dies in die oberen zwei Gleichungen ein und habe zwei Gleichungen mit zwei Variablen.

10.04.2014, 20:11

Dopap

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es ist schwer irgendwelche Fehler zu entdecken.

ich komme auf $\begin{eqnarray*} \lambda = 820.154 \end{eqnarray*}$

und: nicht mit 0.42 rechnen!

10.04.2014, 20:45

Tipso

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1.) $\begin{eqnarray*} 2*89( -0.42x_2 +167) + 20x_2 = 33\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -54.76x_2 + 29726 = 33\lambda \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} 2*89 x_2 + 20*( -0.42x_2 +167) = 14\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 169.6x_2 +3340 = 14\lambda \end{eqnarray*}$

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \lambda = 821.00687 \end{eqnarray*}$

Fehler gefunden Freude

Freude

Nun ist mein Ergebnis dennoch nicht ident mit deinem.

Ich habe die Gleichung 1. mit 3.097151205 multipliziert und mit Gleichung 2 addiert.
Scheint ein Rundungsunterschied zu sein, ich rechne deshalb mit deinem Wert weiter.

1.)
$\begin{eqnarray*} -54.76x_2 + 29726 = 33\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -54.76x_2 + 29726 = 27065.082 \end{eqnarray*}$

x_2 = 48,5

2.)
$\begin{eqnarray*} 169.6x_2 +3340 = 14\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 169.6x_2 +3340 = 11482.156 \end{eqnarray*}$

daraus folgt x_2 = 48

*Unterschiedliche Ergebnisse kommen dabei raus, liegt wohl an Rundungsungenaugikeit.

x_2 eingesetzt in die Anfangsgleichungen 1 oder 2 ergibt x_1

11.04.2014, 17:39

Tipso

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Soweit müssten meine Ausführungen doch passen. verwirrt

verwirrt

11.04.2014, 18:35

Dopap

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ja, soweit in Ordnung.

zum Nachrechnen auf 6 Ziffern:

$\begin{eqnarray*} x_1=146.655<br /> x_2=48.0285<br /> \lambda=820.154 \end{eqnarray*}$

11.04.2014, 18:52

Tipso

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Alles klar, danke.

Wie komme ich auf die exakt gleichen Werte wie du?
Hast mit einem Programm gerechnet, welches sehr genau rechnet und ich hab mit meinem Taschenrechner Rundungsfehler drinnen?

11.04.2014, 19:20

Dopap

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Ich hab ein Programm Lagrange geschrieben, da muss ich nur die Hauptfunktion und die Nebenbedingungen eingeben.
Mein TR hat einen EXACT- Modus, wo er nicht rundet, so ist z.B.

$\begin{eqnarray*} x_1=\frac {15417064}{105125} \end{eqnarray*}$

sollten die Ausdrücke zu groß werden, kann in den APPROX-Modus geschaltet werden.

Ein Nichtlineares Gleichungssystem oder Lineares GLS wird dann nicht algebraisch gelöst, sondern per zielführender Suche im Variablenraum, derart, dass der rechte Vektor der Gleichungen im Betrag ein Minimum wird.

11.04.2014, 20:09

Tipso

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Zitat:

rechte Vektor der Gleichungen im Betrag ein Minimum

Warum?

11.04.2014, 20:28

Dopap

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im Idealfall ist der rechte Vektor der Nullvektor. Lehrer

Lehrer

Das gilt aber nur wenn exakte Lösungen vorliegen.

Das kannst du ja mal mit deinen gerundeten Werten testen.

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