Lipschitz Bedingung vs. Glm. Stetig |
12.08.2004, 20:38 | maxx03 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lipschitz Bedingung vs. Glm. Stetig a) Die Funktion f genügt im Definitionsbereich D einer (globalen) Lipschitz Bedingung b) Die Funktion f ist im Definitionsbereich D gleichmäßig stetig Definition a) lautet exakt: Es gibt eine Konstante L>0 sodass: |f(x)-f(y)| < L|x-y| für alle x,y aus D Definition b) lautet exakt: Zu jeden e>0 Gibt es ein d > 0 sodass: |f(x)-f(y)| < e für alle |x-y| < d und x,y aus D Meiner Meinung nach: a) => b) Zu gegebenen e wähle man d so klein dass d <= e / L , L existiert nach Vorr. , es folgt |f(x)-f(y)| < L|x-y| < L d <= e b) => a) Komm ich jetzt gerade nicht drauf :P aber Lipschitz Bedingung sollte doch wenn dann schwächer als glm. stetig sein. Danke im Vorraus für die Antworten PS: Noch ne Bonusfrage : Kann mir wer eine Funktion sagen die stetig ist aber nicht Lipschitz stetig ist ? (Def. Lipschitz stetig: Es gibt zu jedem Punkt eine Umgebung U sodass f in dieser Umgebung einer Lipschitz Bedingung genügt) |
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12.08.2004, 20:55 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo maxx03 Lipschitz stetig glm. stetig stetig Beispiel wäre die Wurzelfunktion oder die ist nicht L stetig(oder ) Hier hat ich schonmal ein wenig dazu geschrieben. alles klar? gruß mathemaduenn Edit: Da hat ich doch die Pfeile verwechselt |
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12.08.2004, 21:02 | n! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also im letzten Thread hab ich ja vieles verstanden über die Definition der L-Stetigkeit.Aber irgendwie schein ich unfähig zu sein eine komplette Formel aufzuschreiben dafür. nehmen wir mal an ich habe f(x)=1/3 x Wie würde ich das ausführlich aufschreiben mit den Beträgen? Die Konstante L müsste doch dann die Ableitung sein? |
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12.08.2004, 21:17 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo n! Ja L wäre z.B. 1/3. Du kannst aber auch 2 nehmen wichtig ist bloß das es solch eine Zahl gibt. Und schreiben würde man das z.B. so oder für's Beispiel Das sieht man vielleicht auch ohne Ableitung. @maxx03 noch eine Erklärung zur Wurzelfunktion nehmen wir mal an es gäbe solch ein L nehmen wir jetzt y=0,x>0 d.h. die Bedingung git nicht für alle x aus R gruß mathemaduenn |
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12.08.2004, 21:18 | navajo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Funktion ist doch nicht automatisch glm. stetig, wenn sie stetig ist?? z.B.: ist auf stetig aber nicht gleichmässig stetig. |
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12.08.2004, 21:22 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo navajo Danke fürs aufmerksame Mitlesen hab's editiert. gruß mathemaduenn |
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12.08.2004, 21:26 | navajo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab mir fast gedacht das es ein Schreibfehler war. Aber ich hab lieber drauf aufmerksam gemacht, denn in dem anderen Thread zu dem Thema ist übrigens der selbe Fehler drin |
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12.08.2004, 21:33 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
X( :rolleyes: |
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12.08.2004, 22:01 | n! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@mathemaduenn erstmal vielen Dank für die Mühe.Wenn ich jetzt eine Aufgabe gestellt bekommen würde,die wie folgt aussieht,wie müsste ich dann vorgehen: Zeige: 1/x ist L-stetig in [ 1 | 10 ] , in [ 0,1 | 1 ] . |
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12.08.2004, 22:10 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo n! Zeige f'(x) ist beschränkt auf dem gegebenen Intervall das ist wohl meist am leichtesten Du kannst's natürlich auch die direkt machen wie dies z.B. therisen im anderen thread gemacht hat. Also zeige gruß mathemaduenn |
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12.08.2004, 23:18 | navajo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich versuch das mal, in der Gefahr hin, dass ich damit zuviel vorsage als gewünscht ist :P Also die Funktion mal einsetzen: Auf einen Nenner bringen: Ich hoffe dass man sowas mit dem Betrag darf: Und müsste dasselbe sein, wie , also: So und dann nimmt man L als das maximum von , dann müsste es ja passen. Also bei [1,10] dürfte dann L=1 reichen und bei [0.1,1] dann L=100. Aber ich bin mir nicht sicher ob das so stimmt, hab das auch eher als übung für mich gerechnet |
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13.08.2004, 09:24 | n! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
müsste eigentlich so weit hinkommen ja. Bei [1,10] reicht L=1,wie du schon richtig sagtest. Bei [0,1 , 1] würde eigentlich auch ein kleinerer als L=100 passen oder irre mich? |
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13.08.2004, 10:25 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo n! wenn du mit x,y, nahe an die 0.1 rangehst wirst Du dieses L=100 wirklich brauchen. In der Ungleichungskette von navajo sind ja auch keine Abschätzungen(im Sinne von ) vorhanden. Kannst ja mal x=0.1 und y=0.1001 ausprobieren. Aber wie schon gesagt es geht auch nicht darum ein möglichst kleines L zu finden sondern um die Aussage das es eins gibt. gruß mathemaduenn |
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13.08.2004, 11:12 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo maxx03, Um den Unterschied zwischen glm. stetig und Lipschitz stetig zu verdeutlichen wollt ich nochmal die glm stetigkeit an meinem Bsp. zeigen. o.B.d.A. x>y Also delta wäre gleich epsilon^2 L-stetigkeit bedeutet aber lineare Abnahme des delta mit epsilon Ich hoffe das ist klärend gruß mathemaduenn |
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13.08.2004, 15:15 | maxx03 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Antworten ! Eine Frage hätte ich aber noch: Mit der oben vorkommenden Eigenschaft "Lipschitz - stetig" ist wohl immer das was ich als Lipschitz Bedingung bezeichnet habe gemeint oder ? Es existiert also eine globale Konstante, und nicht nur eine lokale für eine evtl sehr kleine Umgebung U des Punktes...die lokale Eigenschaft ist nämlich sicher schwächer als gleichmäßige Stetigkeit, denn zb. f(x)= 1 / x auf D = (0, unendlich) ist nicht glm. stetig aber ist (lokal) Lipschitz Stetig. |
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13.08.2004, 18:27 | mathemaduenn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo maxx03, Ich war jetzt von global Lipschitz stetig ausgegangen. Glaube aber auch schonmal was von lokal Lipschitz stetig gehört zu haben. Wie allerdings dein und mein Bsp. zeigen kann man weder von glm. stetig auf lokal Lipschitz stetig noch von lokal Lipschitz-stetig auf glm. stetig schließen. gruß mathemaduenn |
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17.07.2005, 18:52 | Bruno | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn f gleichmäßig stetig, dann ist f auch stetig Wenn f lip-stetig , dann f auch stetig, lässt sich nun zwischen gleichmäßig stetig und lipstetig kein stärkeres rauskristallisieren: am Anfang des Beitrages hiess es Lip -> gleichmäßig -> stetig |
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17.07.2005, 19:11 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ist es auch! Du hast dich vielleicht durch das "lokal Lipschitz-stetig" verwirren lassen. Genaueres hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Lipschitz-Stetigkeit |
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17.07.2005, 19:16 | Bruno | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ooops... stimmt... danke |
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