Limes mit Wurzeln

10.04.2014, 15:13

onlyC

Auf diesen Beitrag antworten »

Limes mit Wurzeln

Meine Frage:
Hallo,
Wie komme ich auf
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2+n}-n \right)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Frage: Muss ich zuerst alles unter die Wurzel bringen? Wie geht das? Kann ich schreiben:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt{a} =\sqrt{\lim_{n \to \infty} a} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Leider komm ich nicht auf die Lösung.
Ich hab so argumentiert:
das $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ unter der Wurzel konvergiert schneller gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ als das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Daher ignoriere ich es(fehler?). Damit habe nur $\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2} \end{eqnarray*}$ unter der Wurzel stehen und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}(\sqrt{n^2}-n) =\lim_{n \to \infty} (n-n )=0 \end{eqnarray*}$ Und das ist falsch.

10.04.2014, 15:38

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Limes mit Wurzeln

Zitat:

Original von onlyC
Daher ignoriere ich es(fehler?).

Ja, schwerer Fehler!

Ein Standardtrick bei solchen Differenzen mit Wurzeltermen ist geschicktes Erweitern, sodass man bei dem dann entstandenen Bruch im Zähler die 3. binomische Formel anwenden kann.

10.04.2014, 17:39

onlyC

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komm nicht wirklich weiter..
Mir fällt nichts ein das irgendwie elegant zu lösen. unglücklich

unglücklich

Ich würde es notfalls so machen:
Den ausdruck als Bruch hinschreiben und dann die l'hospital regel anwenden. Dann komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Der Weg ist ziemlich aufwendig und erfordert eine menge Schreibarbeit. Ich gehöre zu der Sorte die gerne Rechenfehler machen, und wenn ich dieses Beispiel an der Tafel präsentieren muss, mach ich sicher einen Rechenfehler. Gibt es einen kürzeren weg ohne l'hospital Regel?

10.04.2014, 17:45

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie Mulder ja schon sagte sollst du den Term so erweitern, dass du im Zähler die dritte binomische Formel anwenden kannst du die Wurzel rausfliegt.

Wie lautet die dritte binomische Formel?

Ich sehe gerade auch nicht unbedingt wie du hier das ganze als Bruch geschrieben hast um L'Hospital anwenden zu können.

10.04.2014, 17:52

onlyC

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} (a+b)(a-b)=(a^2-b^2) \end{eqnarray*}$

Wie erweitere ich?

10.04.2014, 17:54

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die dritte binomische Formel, richtig. Und diese nutzt du um die richtige Erweiterung zu finden.

Eine Idee? Es ist wohl einfacher als du denkst.

Anzeige

10.04.2014, 17:59

onlyC

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, irgendwie fällt mir nichts ein. -Vielleicht $\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2-n} \end{eqnarray*}$ ?

10.04.2014, 18:00

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. So würde im Zähler ja eine Wurzel stehen bleiben und das wollen wir ja gerade beheben.

Was ist denn in diesem Zusammenhang a und was ist b?

10.04.2014, 18:04

onlyC

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} a=(n^2+n)^{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=n^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

10.04.2014, 18:08

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, viel einfacher.
Diese Ausdrücke kommen im Zähler ja gar nicht vor. Arbeite mit dem was du bereits im Zähler stehen hast.

10.04.2014, 18:10

onlyC

Auf diesen Beitrag antworten »

so:
$\begin{eqnarray*} a=n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=-n^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

10.04.2014, 18:12

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wäre es einfach mit

$\begin{eqnarray*} a=\sqrt{n^2+n}<br /> <br /> b=n \end{eqnarray*}$

10.04.2014, 18:24

onlyC

Auf diesen Beitrag antworten »

so?
$\begin{eqnarray*} \frac{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n } \end{eqnarray*}$

10.04.2014, 18:25

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Immer Nenner fehlt was und im Zähler kannst du zusammenfassen.
Ansonsten richtig.

10.04.2014, 18:26

onlyC

Auf diesen Beitrag antworten »

ja hab n vergessen

10.04.2014, 18:27

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Was hast du nun da stehen?
Wie geht es weiter?

10.04.2014, 18:32

onlyC

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n } \end{eqnarray*}$
ich weiß nicht wie der ausdruck dann helfen soll.

10.04.2014, 18:34

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt kommt wieder der andere Standardtrick zum Einsatz:

Im Zähler und Nenner die höchste n-Potenz ausklammern und kürzen.

10.04.2014, 18:40

onlyC

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{\sqrt{n(n+1)}+n } \end{eqnarray*}$

10.04.2014, 18:41

onlyC

Auf diesen Beitrag antworten »

ist das auch das gleiche wie
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n} }{\sqrt{n+1}} \end{eqnarray*}$

10.04.2014, 18:43

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

So kannst du nicht kürzen. Oder was du da getan hast...

Bleibe bei der ursprünglichen Form:

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n} \end{eqnarray*}$

Nun Klammer im Nenner n aus, und kürze es.

10.04.2014, 18:49

onlyC

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{\sqrt{n^{2}+n } }{n}+1 } \end{eqnarray*}$ ?

10.04.2014, 18:50

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und was ist

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n^2+n}}{n} \end{eqnarray*}$

Wie ziehst du also das n in die Wurzel?

10.04.2014, 18:57

onlyC

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{n^2+n}{n^2} }=\sqrt{\frac{n+1}{n} } \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{n \to \infty } \frac{1}{\sqrt{\frac{n+1}{n} } +1}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Danke!

10.04.2014, 19:02

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen.

Auch wenn ich $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ geschrieben hätte.

11.04.2014, 08:40

Rochus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von onlyC
$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{n \to \infty } \frac{1}{\sqrt{\frac{n+1}{n} } +1}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Warum darfst du denn hier den Limes unter die Wurzel ziehen?

11.04.2014, 11:08

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Weil die Wurzel stetig ist.

11.04.2014, 11:26

Rochus

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.
Offen bleibt jetzt nur die Frage, ob onlyC dieses Argument nutzen kann bzw. darf.

11.04.2014, 11:34

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ich dachte die Frage wäre an mich gerichtet.

11.04.2014, 12:00

onlyC

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Rochus
Genau.
Offen bleibt jetzt nur die Frage, ob onlyC dieses Argument nutzen kann bzw. darf.

Mir ist klar, dass Wurzel(x) stetig ist, jedoch machen wir Stetigkeit erst in 3-4 Wochen durch. - Egal, ich hab ja jetzt Osterferien und genug Zeit über Grenzwerte/Stetigkeit/Differenzierbarkeit zu philosophieren!
Frohe Ostern euch allen!

11.04.2014, 12:09

Rochus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von onlyC
Mir ist klar, dass Wurzel(x) stetig ist, jedoch machen wir Stetigkeit erst in 3-4 Wochen durch.

Dann würde es sich vermutlich eher anbieten den Term mittels

$\begin{eqnarray*} \frac{n+(n+1)}2\geq\sqrt{n(n+1)}\geq \frac {2n(n+1)}{n+(n+1)} \end{eqnarray*}$

enzuschnüren.

11.04.2014, 12:13

onlyC

Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du es bitte ohne latex schreiben? Matheboard spinnt gereade. Die letzten paar latex codes werden nicht angezeigt

11.04.2014, 12:14

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Das könnte an deinem Browser liegen. Ich kann es lesen.

11.04.2014, 12:16

onlyC

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist dann der Sandwich Satz.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »