Stammfunktion einer e-Funktion

10.04.2014, 15:14

Rivago

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Stammfunktion einer e-Funktion

Hallo

Wink

Hatten heute erst unsere Arbeit geschrieben. Konnte alles, bis auf eine Aufgabe.

Wir sollten die Stammfunktion folgender Funktion bilden:

$\begin{eqnarray*} f (x) = \frac{4 - (e^{x})^2}{2 + e^x} \end{eqnarray*}$

Hab sie mir dann erstmal umgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} f (x) = \frac{4 - e^{2x}}{2 + e^x} \end{eqnarray*}$

Und dann hab ich den Nenner nach oben geholt:

$\begin{eqnarray*} f (x) = 4 - e^{2x} \cdot (2 + e^x)^{-1} \end{eqnarray*}$

Nur hat mir das nichts gebracht. Ich wusste nun nicht wie ich weiter machen soll.

Nach der Arbeit wurde es dann vom Lehrer aufgelöst: Ist ja im Zähler eine Binomische Formel und somit kürzt sich der Nenner raus. Dann kann man ja sehr einfach die Stammfunktion bilden.

Hat man denn überhaupt eine Chance hier die Stammfunktion zu bilden, auch wenn man das mit der Binomischen Formel nicht sieht? unglücklich

unglücklich

10.04.2014, 15:30

klarsoweit

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RE: Stammfunktion einer e-Funktion

Zitat:

Original von Rivago
Und dann hab ich den Nenner nach oben geholt:

$\begin{eqnarray*} f (x) = 4 - e^{2x} \cdot (2 + e^x)^{-1} \end{eqnarray*}$

Wenn, dann so: $\begin{eqnarray*} f(x) = (4 - e^{2x}) \cdot (2 + e^x)^{-1} \end{eqnarray*}$

Aber wie du selber sagst: das bringt nichts. Ich habe auch noch keinen Fall gesehen, wo man damit weitergekommen wäre.

Zitat:

Original von Rivago
Hat man denn überhaupt eine Chance hier die Stammfunktion zu bilden, auch wenn man das mit der Binomischen Formel nicht sieht? unglücklich

unglücklich

Also die Substitution u = e^x geht bei sowas immer. smile

smile

10.04.2014, 15:35

Rivago

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RE: Stammfunktion einer e-Funktion
$\begin{eqnarray*} f (x) = \frac{4 - e^{2x}}{2 + e^x} \end{eqnarray*}$

Also einfach ein u einsetzen?

$\begin{eqnarray*} f (x) = \frac{4 - u^x}{2 + u} \end{eqnarray*}$

Und jetzt? Davon hab ich auch noch nichts gehört. Ich kenn die Substitution bei Funktionen 4. Grades, x² = z.

10.04.2014, 15:43

klarsoweit

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RE: Stammfunktion einer e-Funktion
Zum einen ist das nicht richtig substitutiert (aus $\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ wird u²), zum anderen muß man natürlich auch die Regeln der Integralsubstitution kennen und beachten. smile

smile

10.04.2014, 15:47

HAL 9000

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(sorry, man sollte den ganzen Beitrag lesen)

10.04.2014, 15:51

Rivago

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Okay, da gehts schon los. Von Integralsubstituion hör ich jetzt auch zum ersten mal unglücklich

unglücklich

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10.04.2014, 15:53

klarsoweit

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OK. Dann mußt du das Thema verschieben, bis es dran war. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.04.2014, 15:56

Rivago

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Ich glaub das steht nicht mit im Lehrplan. Ich mach nicht das normale Abitur, sondern FOS Technik. Da behandeln wir bestimmte Sachen leider nicht.

10.04.2014, 16:00

klarsoweit

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Was soll man sagen: tragisches Einzelschicksal. Big Laugh

Big Laugh

10.04.2014, 16:25

Rivago

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Magst es mir beibringen?

11.04.2014, 08:44

klarsoweit

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RE: Stammfunktion einer e-Funktion
So lautet die Substitutionsregel:

Ist g eine stetig differenzierbare Funktion, die das Intervall [a; b] auf ein Intervall I abbildet und f eine auf dem Intervall I stetige Funktion, so gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b~f(g(x)) \cdot g'(x)~dx = \int_{g(a)}^{g(b)}~f(t)~dt \end{eqnarray*}$

Mit Blick auf das Beispiel $\begin{eqnarray*} \int \frac{4 - (e^{x})^2}{2 + e^x} ~dx \end{eqnarray*}$ benötigen wir eine Funktion f(t) und eine Funktion g(x) . Da wir e^x substituieren wollen, ist dies der Kandidat für g(x), also g(x) = e^x. Auf den ersten Blick sieht es so aus, daß $\begin{eqnarray*} f(t) = \frac{4 - t^2}{2 + t} \end{eqnarray*}$ sein könnte, wodurch die Abbildung $\begin{eqnarray*} f(g(x)) = \frac{4 - (e^{x})^2}{2 + e^x} \end{eqnarray*}$ exakt den Integranden darstellt. Dummerweise brauchen wir aber in dem Integranden noch das g'(x). Das müssen wir uns noch durch eine Umformung beschaffen:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{4 - (e^{x})^2}{2 + e^x} ~dx = \int \frac{4 - (e^{x})^2}{(2 + e^x) \cdot e^x} \cdot e^x ~dx \end{eqnarray*}$

Das führt somit zu $\begin{eqnarray*} f(t) = \frac{4 - t^2}{(2 + t) \cdot t} \end{eqnarray*}$ . Insgesamt haben wir also:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{4 - (e^{x})^2}{2 + e^x} ~dx = \int \frac{4 - (e^{x})^2}{(2 + e^x) \cdot e^x} \cdot e^x ~dx = \int \frac{4 - t^2}{(2 + t) \cdot t} ~dt \end{eqnarray*}$

Dies ist jetzt für ein unbestimmtes Integral. Bei einem bestimmten Integral mußt du noch die Integrationsgrenzen gemäß der Regel transformieren.

Du siehst: die Regel ist nicht ganz trivial und erfordert einige Übung, um die passende Substitution zu erkennen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.04.2014, 10:25

Rivago

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Hmm okay.. schwere Kost verwirrt

verwirrt

Hab ich nicht so ganz verstanden. Besser wir lassen das wohl doch lieber sein unglücklich

unglücklich

12.04.2014, 11:32

Bürgi

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Guten Morgen,

ich habe nur eine Verständnisfrage, interessehalber: Warum wurde der ursprüngliche Funktionsterm nicht gekürzt? Gibt es dafür einen Grund?

12.04.2014, 12:17

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Bürgi
Warum wurde der ursprüngliche Funktionsterm nicht gekürzt? Gibt es dafür einen Grund?

Ich wüsste keinen.

@Rivago: Du kannst im Zähler die 3. binomische Formel anwenden. Dann kannst du das Integral auch ohne Substitution lösen. smile

smile

Edit: Oh, ich sehe gerade, dass du das ja oben schon erwähnt hast.

12.04.2014, 12:26

Rivago

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Wink

Ja, ich weiß Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie gesagt, dass war eine Aufgabe aus der Arbeit. War die einzige die ich nicht lösen konnte. Das es die 3. bin. Formel war hat nur einer von 26 Schülern erkannt. Nachdem es der Lehrer nach der Arbeit an der Tafel vorgerechnet hat hab ich mich dann schon geärgert, "hätt ich auch selbst drauf kommen können" unglücklich

unglücklich

Ist mir jetzt leider schon mehrmals passiert. Irgend eine gemeine Aufgabe hat er immer drin. Und ich wollte jetzt nur mal wissen, ob es auch Möglichkeiten gibt solche Aufgaben zu lösen, auch wenn man die binomischen Formeln nicht erkennt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Habt ihr einen Tipp, damit man sowas sofort erkennt? Oder ist das einfach nur Übung?

12.04.2014, 12:27

10001000Nick1

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Ich würde auf letzteres tippen.

12.04.2014, 12:29

Rivago

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Schade..

Dann werd ich mir wohl angewöhnen müssen immer dann nach bin. Formeln zu suchen, wenn ich nicht weiter komm Big Laugh

Big Laugh

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